Estude a continuidade das seguintes funções no ponto :
(23.1)
(23.1)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, que é definida de forma diferente quando
e quando
. Nosso objetivo é estudar se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua no ponto
se o limite de $ f(x, y) $ quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
Passo 3
Sabemos que $ f(0, 0) = 0 $. Então, precisamos calcular o limite:
Para resolver esse limite, vamos analisar o comportamento da função conforme
se aproxima de
.
Passo 4
Observe que o seno está sempre limitado entre -1 e 1:
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por $ x^{2} + y^{2} $, que é sempre positivo, temos:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite das duas extremidades da desigualdade quando
:
Portanto, usando o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sandwich), podemos concluir que:
Passo 6
Finalmente, comparamos o limite encontrado com o valor da função no ponto
:
Como os dois são iguais, a função $ f(x, y) $ é contínua no ponto
.
Resposta
A função $ f(x, y) $ é contínua no ponto
.