Estude a continuidade das seguintes funções no ponto :
(23.1) f(x, y)=ll(x^2+y^2) sen(1x^2+y^2), & (x, y) neq(0,0) 0 & (x, y)=(0,0) ;(0,0)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) $, que é definida de forma diferente quando f(x, y) e quando (x, y) neq (0,0). Nosso objetivo é estudar se essa função é contínua no ponto (x, y) = (0,0). Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f(x, y) $ é contínua no ponto f(x, y) se o limite de $ f(x, y) $ quando (a, b) se aproxima de f(x, y) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
(x, y)
No nosso caso, queremos verificar se:
(a, b)

Passo 3

Sabemos que $ f(0, 0) = 0 $. Então, precisamos calcular o limite:
f(0, 0) = 0
Para resolver esse limite, vamos analisar o comportamento da função conforme lim(x, y) to (0, 0) (x^2 + y^2) sin(1x^2 + y^2) se aproxima de (x, y).

Passo 4

Observe que o seno está sempre limitado entre -1 e 1:
-1 <= sin(1x^2 + y^2) <= 1
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por $ x^{2} + y^{2} $, que é sempre positivo, temos:
x^2 + y^2

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite das duas extremidades da desigualdade quando (x, y) to (0,0):
lim(x, y) to (0, 0) -(x^2 + y^2) = 0
lim(x, y) to (0, 0) (x^2 + y^2) = 0
Portanto, usando o Teorema do Aperto (ou Teorema do Sandwich), podemos concluir que:
lim(x, y) to (0, 0) (x^2 + y^2) sin(1x^2 + y^2) = 0

Passo 6

Finalmente, comparamos o limite encontrado com o valor da função no ponto (0,0):
lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = 0 = f(0, 0)
Como os dois são iguais, a função $ f(x, y) $ é contínua no ponto f(x, y) .

Resposta

A função $ f(x, y) $ é contínua no ponto f(x, y) .

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