Para as funções abaixo calcule, caso exista, as derivadas parciais, nos pontos indicados:
(25.2) f(x, y)=arctg raiz4 x^2-y^2 ; P0(1,1).

Passo 1

Beleza! A gente tem uma função $ f(x, y) = \operatorname{arctg} \sqrt{4x^2 - y^2} $ e precisa calcular as derivadas parciais dessa função nos pontos $ P_{0}(1,1) $. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto a outra fica constante. Então, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $.

Passo 3

Vamos começar calculando $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função é $ f(x, y) = \operatorname{arctg} \sqrt{4x^2 - y^2} $. A gente vai usar a regra da cadeia aqui. Primeiro, identificamos as partes da função:
  • A função externa é $ \operatorname{arctg}(u) $, onde $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $.
  • A função interna é $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $.

Passo 4

Vamos derivar a função externa em relação a $ u $. A derivada de $ \operatorname{arctg}(u) $ em relação a $ u $ é:
u
Agora, derivamos a função interna $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $ em relação a $ x $:
arctg(u)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
Substituindo $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $:
partial fpartial x = ddu arctg(u) cdot partial upartial x = 11 + u^2 cdot 4xraiz4x^2 - y^2

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Usamos a mesma abordagem da regra da cadeia.
Primeiro, derivamos a função externa em relação a $ u $:
partial fpartial y
Depois, derivamos a função interna $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $ em relação a $ y $:
u

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial y
Substituindo $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $:
partial fpartial y = ddu arctg(u) cdot partial upartial y = 11 + u^2 cdot -yraiz4x^2 - y^2

Passo 8

Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos avaliar em $ P_{0}(1,1) $.
Primeiro, calculamos $ 4x^2 - y^2 $ em $ (1,1) $:
P0(1,1)
Então, $ \sqrt{4x^2 - y^2} = \sqrt{3} $ e $ 1 + 4x^2 - y^2 = 1 + 4 - 1 = 4 $.

Passo 9

Substituindo os valores em $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
E em $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial x = 4 cdot 14 cdot raiz3 = 44raiz3 = 1raiz3

Resposta

As derivadas parciais no ponto $ P_{0}(1,1) $ são:
P0(1,1)
partial fpartial xg|(1,1) = 1raiz3

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