Para as funções abaixo calcule, caso exista, as derivadas parciais, nos pontos indicados:
(25.2)
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(25.2)
Passo 1
Beleza! A gente tem uma função $ f(x, y) = \operatorname{arctg} \sqrt{4x^2 - y^2} $ e precisa calcular as derivadas parciais dessa função nos pontos $ P_{0}(1,1) $. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas nos mostram como a função muda quando mudamos uma variável enquanto a outra fica constante. Então, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Passo 3
Vamos começar calculando $ \frac{\partial f}{\partial x} $. A função é $ f(x, y) = \operatorname{arctg} \sqrt{4x^2 - y^2} $. A gente vai usar a regra da cadeia aqui. Primeiro, identificamos as partes da função:
- A função externa é $ \operatorname{arctg}(u) $, onde $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $.
- A função interna é $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $.
Passo 4
Vamos derivar a função externa em relação a $ u $. A derivada de $ \operatorname{arctg}(u) $ em relação a $ u $ é:
Agora, derivamos a função interna $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $ em relação a $ x $:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Substituindo $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $. Usamos a mesma abordagem da regra da cadeia.
Primeiro, derivamos a função externa em relação a $ u $:
Depois, derivamos a função interna $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $ em relação a $ y $:
Passo 7
Aplicando a regra da cadeia para $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Substituindo $ u = \sqrt{4x^2 - y^2} $:
Passo 8
Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos avaliar em $ P_{0}(1,1) $.
Primeiro, calculamos $ 4x^2 - y^2 $ em $ (1,1) $:
Então, $ \sqrt{4x^2 - y^2} = \sqrt{3} $ e $ 1 + 4x^2 - y^2 = 1 + 4 - 1 = 4 $.
Passo 9
Substituindo os valores em $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
E em $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Resposta
As derivadas parciais no ponto $ P_{0}(1,1) $ são: