Estude a convergência de cada uma das séries abaixo. No caso de convergência, calcule o valor da soma.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos estudar a convergência da série
e, caso ela convirja, calcular a soma.
Aqui, trabalharemos com séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre termos consecutivos. Para resolver isso, vamos separar a série em duas partes e analisar cada uma delas individualmente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas séries individuais:
Agora, temos duas séries geométricas:
Passo 3
Vamos analisar a primeira série:
Essa é uma série geométrica onde:
- Primeiro termo (a₁): Quando
, temos . - Razão ®: A razão é
, pois cada termo é multiplicado por para chegar ao próximo.
Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
. Aqui,
, então essa série converge.
Passo 4
Agora, vamos calcular a soma da primeira série. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos analisar a segunda série:
Essa também é uma série geométrica onde:
- Primeiro termo (a₁): Quando
, temos . - Razão ®: A razão é
, pois cada termo é multiplicado por para chegar ao próximo.
Verificando a condição de convergência
, temos
, então essa série também converge.
Passo 6
Calculando a soma da segunda série usando a mesma fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, somamos as somas das duas séries para obter a soma total da série original:
Resposta
A série convergem e a soma total é 11,5.