Estude a convergência de cada uma das séries abaixo. No caso de convergência, calcule o valor da soma.
sumn=0^infty(52^n+13^n)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos estudar a convergência da série
sumn=0^infty(52^n+13^n)
e, caso ela convirja, calcular a soma.
Aqui, trabalharemos com séries geométricas, que são somas de termos que têm uma razão constante entre termos consecutivos. Para resolver isso, vamos separar a série em duas partes e analisar cada uma delas individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas séries individuais:
sumn=0^infty52^n + sumn=0^infty13^n
Agora, temos duas séries geométricas:
  1. sumn=0^infty52^n
  2. sumn=0^infty13^n

Passo 3

Vamos analisar a primeira série:
sumn=0^infty52^n
Essa é uma série geométrica onde:
  • Primeiro termo (a₁): Quando , temos .
  • Razão ®: A razão é , pois cada termo é multiplicado por para chegar ao próximo.
Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão . Aqui, , então essa série converge.

Passo 4

Agora, vamos calcular a soma da primeira série. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a11 - r
Substituindo os valores:
S1 = 51 - 12 = 512 = 10

Passo 5

Vamos analisar a segunda série:
sumn=0^infty13^n
Essa também é uma série geométrica onde:
  • Primeiro termo (a₁): Quando , temos .
  • Razão ®: A razão é , pois cada termo é multiplicado por para chegar ao próximo.
Verificando a condição de convergência , temos , então essa série também converge.

Passo 6

Calculando a soma da segunda série usando a mesma fórmula:
S = a11 - r
Substituindo os valores:
S2 = 11 - 13 = 123 = 32 = 1,5

Passo 7

Agora, somamos as somas das duas séries para obter a soma total da série original:
Stotal = S1 + S2 = 10 + 1,5 = 11,5

Resposta

A série convergem e a soma total é 11,5.

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