Desenhe o conjunto de nível da função f dada por:
(a) f(x, y)=x y

Passo 1

A função é dada por f(x,y)=xy e a missão é desenhar seus conjuntos de nível (curvas onde f(x,y)=c para alguma constante c). O conteúdo aqui é curvas de nível e como elas se relacionam com hipérboles.

Passo 2

Por definição, o conjunto de nível para um valor constante c é dado por f(x,y)=c. Substituindo, temos
xy=c
que podemos reescrever isolando y:
y=cx, xneq0
Isso mostra que cada curva de nível é uma hipérbole equilátera centrada na origem, com assimptotas nos eixos x=0 e y=0.

Passo 3

Agora, para visualizar melhor, consideramos três casos:
  • Para c>0, a curva fica nos 1º e 3º quadrantes (ramos que se aproximam dos eixos sem tocá-los).
  • Para c<0, a curva fica nos 2º e 4º quadrantes.
  • Para c=0, a equação xy=0 se decompõe em x=0 e y=0, que são os próprios eixos.

Passo 4

Para desenhar, basta esboçar algumas hipérboles y=c/x para valores representativos de c (por exemplo, c=1,2,-1,-2) e os eixos como assíntotas. Cada hipérbole cruza o ponto (c,1) e se aproxima dos eixos conforme |x|toinfty ou |x|to0|.

Resposta

Os conjuntos de nível de f(x,y)=xy são as hipérboles
xy=c,
com ramos em 1º e 3º quadrantes se c>0, em 2º e 4º se c<0, e para c=0 os eixos x=0 e y=0 (assíntotas das demais curvas).

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