Desenhe o conjunto de nível da função
dada por:
(a)
(a)
Passo 1
A função é dada por
e a missão é desenhar seus conjuntos de nível (curvas onde
para alguma constante
). O conteúdo aqui é curvas de nível e como elas se relacionam com hipérboles.
Passo 2
Por definição, o conjunto de nível para um valor constante
é dado por
. Substituindo, temos
que podemos reescrever isolando
Isso mostra que cada curva de nível é uma hipérbole equilátera centrada na origem, com assimptotas nos eixos
e
.
Passo 3
Agora, para visualizar melhor, consideramos três casos:
- Para
, a curva fica nos 1º e 3º quadrantes (ramos que se aproximam dos eixos sem tocá-los). - Para
, a curva fica nos 2º e 4º quadrantes. - Para
, a equação se decompõe em e , que são os próprios eixos.
Passo 4
Para desenhar, basta esboçar algumas hipérboles
para valores representativos de
(por exemplo,
) e os eixos como assíntotas. Cada hipérbole cruza o ponto
e se aproxima dos eixos conforme
ou
.
Resposta
Os conjuntos de nível de
são as hipérboles
com ramos em 1º e 3º quadrantes se