Estude a convergência de cada uma das séries abaixo.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3}{2^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}} e pede para estudar sua convergência. O conteúdo aqui envolve séries geométricas e teste de convergência absoluta.

Passo 2

Analisamos a convergência absoluta, ou seja, consideramos \sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}}\bigr|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^{n}}.
Como essa é uma série geométrica de primeiro termo 3/2 e razão 1/2, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{2^{n}} =3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac12\Bigr)^{n} =3\cdot\frac{\tfrac12}{1-\tfrac12} =3\,.
Logo, \sum|a_n| converge.

Passo 3

Como a série converge quando tomamos os módulos dos termos, concluímos que ela converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 4

Podemos ainda calcular sua soma usando que se \sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\tfrac{r}{1-r}, para |r|<1, então com r=-\tfrac12 temos
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3}{2^{n}} =3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{n}\bigl(-1\bigr) =-3\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(-\tfrac12\Bigr)^{n} =-3\cdot\frac{-\tfrac12}{1-(-\tfrac12)} =1.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge) e sua soma é 1.

Exercícios relacionados