Resolva a Integral
\int_{-5}^{5} \int_{-10}^{10} 10000 e^{-0,2 x-0,1 y}
\partial x \partial y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{-5}^{5}\int_{-10}^{10}10000\,e^{-0,2x - 0,1y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y.
O conteúdo principal é a integração de funções exponenciais em cada variável. Como o integrando se fatoriza em função de x vezes função de y, podemos usar a propriedade de separação de variáveis:
\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x)\,g(y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\Bigl(\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\Bigr)\Bigl(\int_{c}^{d}g(y)\,\mathrm{d}y\Bigr).

Passo 2

Aplicando a separação, escrevemos
\int_{-5}^{5}\int_{-10}^{10}10000\,e^{-0,2x - 0,1y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =10000\Bigl(\int_{-5}^{5}e^{-0,2x}\,\mathrm{d}x\Bigr)\Bigl(\int_{-10}^{10}e^{-0,1y}\,\mathrm{d}y\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos cada integral de expoencial.
  1. Para \displaystyle \int_{-5}^{5}e^{-0,2x}\,\mathrm{d}x, usamos
\int e^{-0,2x}\,\mathrm{d}x =-\frac{1}{0,2}e^{-0,2x} =-5\,e^{-0,2x}.
Então
\int_{-5}^{5}e^{-0,2x}\,\mathrm{d}x =-5\bigl(e^{-0,2\cdot5}-e^{-0,2\cdot(-5)}\bigr) =-5\bigl(e^{-1}-e^{1}\bigr) =5\bigl(e-e^{-1}\bigr).
  1. Para \displaystyle \int_{-10}^{10}e^{-0,1y}\,\mathrm{d}y, de modo análogo:
\int e^{-0,1y}\,\mathrm{d}y =-\frac{1}{0,1}e^{-0,1y} =-10\,e^{-0,1y},
portanto
\int_{-10}^{10}e^{-0,1y}\,\mathrm{d}y =-10\bigl(e^{-0,1\cdot10}-e^{-0,1\cdot(-10)}\bigr) =-10\bigl(e^{-1}-e^{1}\bigr) =10\bigl(e-e^{-1}\bigr).

Passo 4

Multiplicando tudo, obtemos
10000\;\bigl[5(e-e^{-1})\bigr]\;\bigl[10(e-e^{-1})\bigr] =10000\cdot50\,(e-e^{-1})^{2} =500000\,(e-e^{-1})^{2}.

Resposta

500000\,(e - e^{-1})^{2}.

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