Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\biggl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\biggr).
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e o critério fundamental que vamos usar é o teste da condição necessária: se \sum a_{n} converge, então a_{n}\to0.

Passo 2

Denominamos
a_{n} = \ln\!\biggl(\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1}\biggr).
Para aplicar o teste, calculamos o limite de a_{n} quando n\to\infty. Note que
\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+1} = \frac{n^{2}\bigl(1+\frac1{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(2+\frac1{n^{2}}\bigr)} = \frac{1+\frac1{n^{2}}}{2+\frac1{n^{2}}},
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\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\ln\!\biggl(\frac{1+\tfrac1{n^{2}}}{2+\tfrac1{n^{2}}}\biggr) = \ln\!\bigl(\tfrac1{2}\bigr) \neq 0.

Passo 3

Como o termo geral a_{n} não tende a zero (ele tende a \ln(\tfrac12)), a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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