Esboce o gráfico da função e determine:
a) lim x -2^- f(x) ; lim x -2^+ f(x) ; f(-2);
b) lim x 0^- f(x) ; lim x 0^+ f(x) ; f(0);
c) lim x 1^- f(x) ; lim x 1^+ f(x) ; f(1) d) verifique se a função acima é contínua nos pontos estudados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função f(x) que é definida por partes e calcular alguns limites e verificar a continuidade nos pontos específicos x = -2 , x = 0 e x = 1 . Pra isso, vamos precisar entender como funciona uma função por partes, como calcular limites laterais e verificar continuidade. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Calculando os limites em x = -2 e f(-2)
Primeiro, vamos entender o que é um limite lateral. O limite pela esquerda ( limx -2^- f(x) ) considera os valores de f(x) quando x se aproxima de -2 vindo da esquerda. Já o limite pela direita ( limx -2^+ f(x) ) considera os valores vindo da direita.
Limite pela esquerda ( x < -2 ):
A função está definida como f(x) = 2 para x < -2 . Então,
limx -2^- f(x) = 2
Limite pela direita ( -2 <= x < 0 ):
Aqui, f(x) = x^2 . Então,
limx -2^+ f(x) = (-2)^2 = 4
Valor de f(-2) :
Como -2 está incluído no intervalo -2 <= x < 0 , temos:
f(-2) = (-2)^2 = 4
Passo 3
b) Calculando os limites em x = 0 e f(0)
Vamos aplicar a mesma lógica para x = 0 .
Limite pela esquerda ( -2 <= x < 0 ):
Aqui, f(x) = x^2 . Então,
limx 0^- f(x) = (0)^2 = 0
Limite pela direita ( 0 <= x < 1 ):
Agora, f(x) = 2x . Então,
limx 0^+ f(x) = 2 times 0 = 0
Valor de f(0) :
Como 0 está no intervalo 0 <= x < 1 , temos:
f(0) = 2 times 0 = 0
Passo 4
c) Calculando os limites em x = 1 e f(1)
Agora, vamos para x = 1 .
Limite pela esquerda ( 0 <= x < 1 ):
Aqui, f(x) = 2x . Então,
limx 1^- f(x) = 2 times 1 = 2
Limite pela direita ( x > 1 ):
Agora, f(x) = 1x + 1 . Então,
limx 1^+ f(x) = 11 + 1 = 2
Valor de f(1) :
Pela definição da função, quando x = 1 ,
f(1) = 1
Passo 5
d) Verificando a continuidade nos pontos x = -2 , x = 0 e x = 1
Para que a função seja contínua em um ponto, três condições devem ser satisfeitas:
O limite da função quando x se aproxima do ponto existe.
O valor da função no ponto está definido.
O limite da função é igual ao valor da função no ponto.
Vamos verificar cada ponto:
Em x = -2 :
limx -2^- f(x) = 2
limx -2^+ f(x) = 4
Como os limites laterais são diferentes ( 2 neq 4 ), o limite geral não existe.
Portanto, a função não é contínua em x = -2 .
Em x = 0 :
limx 0^- f(x) = 0
limx 0^+ f(x) = 0
f(0) = 0
Os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função.
Portanto, a função é contínua em x = 0 .
Em x = 1 :
limx 1^- f(x) = 2
limx 1^+ f(x) = 2
f(1) = 1
Embora os limites laterais sejam iguais, eles não são iguais ao valor da função.
Portanto, a função não é contínua em x = 1 .
Resposta
a) lim x -2^- f(x) = 2; lim x -2^+ f(x) = 4; f(-2) = 4;
b) lim x 0^- f(x) = 0; lim x 0^+ f(x) = 0; f(0) = 0;
c) lim x 1^- f(x) = 2; lim x 1^+ f(x) = 2; f(1) = 1;
d) A função não é contínua em x = -2 e x = 1 , mas é contínua em x = 0 .