A sequência geral dos termos é a_n = (-1)^{n}\,\dfrac{4 n^{4}+1}{n^{6}+n^{2}}.
A pergunta é se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, com calma, o que significam as palavras que o exercício usa — isso é importante para saber o que provar.
Definições e ideias que vamos usar:
A série \sum a_n converge absolutamente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge. Ou seja, pegamos os módulos dos termos e testamos essa nova série.
Se \sum a_n converge, mas \sum |a_n| diverge, dizemos que a série converge condicionalmente.
Se \sum |a_n| converge, então automaticamente \sum a_n converge (a convergência absoluta implica convergência).
Um teste útil para séries positivas é o teste da série p (p-series): \sum \dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Em particular, \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge.
Outra ferramenta prática é o teste de comparação (direta ou por limite) com uma série que conhecemos (como uma p-série).
Agora que sabemos o que provar e que ferramentas podemos usar, vamos aplicar isso ao nosso problema.
Passo 3
Analisemos a série das magnitudes (módulos) dos termos:
|a_n| = \frac{4 n^{4}+1}{n^{6}+n^{2}}.
A estratégia natural é comparar |a_n| com uma p-série. Observação heurística: para n grande o termo dominante no numerador é 4n^{4} e no denominador é n^{6}, logo |a_n| tem comportamento aproximado de \dfrac{4n^{4}}{n^{6}}=\dfrac{4}{n^{2}}. Isso sugere que |a_n| se comporta como C/n^{2} e, portanto, a soma das |a_n| deverá convergir (já que p=2>1). Vamos tornar isso rigoroso com o teste do limite.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação por limite com a série \sum \dfrac{1}{n^{2}}:
O limite é 4, que é finito e estritamente positivo. Pelo teste de comparação por limite (limit comparison test), a série \sum |a_n| tem o mesmo comportamento de \sum 1/n^{2}. Como \sum 1/n^{2} converge (p-série com p=2), segue que
Para reforçar e dar outra forma de ver (útil se você preferir comparação direta em provas), podemos também sanduichar |a_n| com desigualdades simples para n\ge 1:
4 n^{4}+1 \le 5 n^{4}.
n^{6}+n^{2} \ge n^{6}.
Portanto, para todo n\ge 1,
Como \sum \dfrac{5}{n^{2}} = 5\sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, pelo teste da comparação direta concluímos novamente que \sum |a_n| converge. Essa é uma prova mais elementar (e às vezes mais aceitável em provas curtas).
Passo 6
Concluímos que a série das magnitudes \sum |a_n| converge. Pela definição, isso quer dizer que a série original converge absolutamente. E como a convergência absoluta implica convergência, a série original