Estude a convergência ou divergência da sequência dada:
(-1)^n n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a sequência (-1)^n cdot n converge ou diverge. Isso está ligado ao tema de convergência de sequências na matemática. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma sequência convergir ou divergir e analisar o comportamento dos termos dessa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a sequência (-1)^n cdot n faz. O termo (-1)^n alterna o sinal dos termos: quando n é par, dá positivo, e quando n é ímpar, dá negativo. Já o n cresce sem parar. Então, os termos da nossa sequência são:
-1 cdot 1, 1 cdot 2, -1 cdot 3, 1 cdot 4, -1 cdot 5, 1 cdot 6, dots
Ou seja:
-1, 2, -3, 4, -5, 6, dots

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é convergência de uma sequência. Uma sequência converge se, conforme n cresce, os termos se aproximam de um número específico, chamado de limite. Se não houver esse número ou se os termos não se aproximarem de nada fixo, a sequência diverge.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento dos termos da nossa sequência. Observamos que o valor absoluto de cada termo ( |(-1)^n cdot n| = n ) está aumentando sem parar, ou seja, está tendendo ao infinito. Além disso, os sinais dos termos estão alternando entre positivo e negativo.
Isso significa que não existe um número específico para o qual os termos estão se aproximando. Em vez disso, eles vão ficando cada vez maiores em magnitude, mas alternando de sinal.

Passo 5

Como os termos não estão se aproximando de nenhum valor fixo e, na verdade, estão aumentando sem limite, concluímos que a sequência não converge para nenhum número real.

Resposta

A sequência (-1)^n cdot n diverge.

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