Estude a convergência ou divergência da sequência dada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se a sequência
converge ou diverge. Isso está ligado ao tema de convergência de sequências na matemática. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que significa uma sequência convergir ou divergir e analisar o comportamento dos termos dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a sequência
faz. O termo
alterna o sinal dos termos: quando
é par, dá positivo, e quando
é ímpar, dá negativo. Já o
cresce sem parar. Então, os termos da nossa sequência são:
Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é convergência de uma sequência. Uma sequência converge se, conforme
cresce, os termos se aproximam de um número específico, chamado de limite. Se não houver esse número ou se os termos não se aproximarem de nada fixo, a sequência diverge.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento dos termos da nossa sequência. Observamos que o valor absoluto de cada termo (
) está aumentando sem parar, ou seja, está tendendo ao infinito. Além disso, os sinais dos termos estão alternando entre positivo e negativo.
Isso significa que não existe um número específico para o qual os termos estão se aproximando. Em vez disso, eles vão ficando cada vez maiores em magnitude, mas alternando de sinal.
Passo 5
Como os termos não estão se aproximando de nenhum valor fixo e, na verdade, estão aumentando sem limite, concluímos que a sequência não converge para nenhum número real.
Resposta
A sequência
diverge.