Estude a convergência ou divergência da sequência dada:
n3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para estudarmos se a sequência n3^n+1 converge ou diverge. A matéria aqui é sobre sequences (sequências) e sua convergência, e para resolver isso, vamos precisar usar limites e entender como funções com crescimento exponencial se comportam em comparação com funções lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a sequência para facilitar o trabalho:
an = n3^n+1 = n3 cdot 3^n = n3^n cdot 3
Podemos simplificar isso para:
an = n3^n+1 = n3^n cdot 3 = n3^n cdot 3 = n3^n+1
Mas na verdade, isso não simplifica muito. Então, vamos focar em calcular o limite quando n tende ao infinito.

Passo 3

Para determinar se a sequência converge ou diverge, vamos calcular o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty n3^n+1
Isso é equivalente a:
limn to infty n3^n cdot 3 = 13 cdot limn to infty n3^n

Passo 4

Agora, vamos focar no limite:
limn to infty n3^n
Aqui, temos uma expressão onde o numerador cresce linearmente ( n) e o denominador cresce exponencialmente ( 3^n). Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido do que funções lineares à medida que n aumenta.

Passo 5

De fato, quanto mais n aumenta, o 3^n se torna extremamente grande muito rapidamente, fazendo com que a fração n3^n se aproxime de zero. Portanto:
limn to infty n3^n = 0

Passo 6

Voltando ao nosso limite original:
limn to infty n3^n+1 = 13 cdot 0 = 0
Então, o limite da sequência é zero.

Resposta

A sequência n3^n+1 converge e seu limite é 0.

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