Estude a convergência ou divergência da sequência dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para estudarmos se a sequência
converge ou diverge. A matéria aqui é sobre sequences (sequências) e sua convergência, e para resolver isso, vamos precisar usar limites e entender como funções com crescimento exponencial se comportam em comparação com funções lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a sequência para facilitar o trabalho:
Podemos simplificar isso para:
Mas na verdade, isso não simplifica muito. Então, vamos focar em calcular o limite quando
tende ao infinito.
Passo 3
Para determinar se a sequência converge ou diverge, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Isso é equivalente a:
Passo 4
Agora, vamos focar no limite:
Aqui, temos uma expressão onde o numerador cresce linearmente (
) e o denominador cresce exponencialmente (
). Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido do que funções lineares à medida que
aumenta.
Passo 5
De fato, quanto mais
aumenta, o
se torna extremamente grande muito rapidamente, fazendo com que a fração
se aproxime de zero. Portanto:
Passo 6
Voltando ao nosso limite original:
Então, o limite da sequência é zero.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é 0.