5^{\mathrm{a}} Questão (4 pontos): Seja S a superfície definida pela equação
e^{x^{2}-z^{2}}+x^{3} y^{2}+x^{3}-z^{3}+z=3-y .
Suponha z=f(x, y) função diferenciável definida implicitamente pela equação de S acima e tal que f(2,0)=2.
a) Determine a equação do plano tangente e o vetor normal à superfície no ponto (2,0).
b) Determine as equações paramétricas da reta normal a S no ponto.
c) Determine a taxa de variação da função no ponto (2,0) e na direção do vetor (-3,2). Há crescimento ou decrescimento?
d) Qual é a maior taxa de variação da função no ponto?

Passo 1

Liste do que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a superfície S definida implicitamente pela equação
e^{x^{2}-z^{2}}+x^{3}y^{2}+x^{3}-z^{3}+z=3-y.
  • Sabemos que z=f(x,y) é diferenciável e que f(2,0)=2. Ou seja, o ponto da superfície é (x,y,z)=(2,0,2).
  • Perguntas:
    a) Determinar a equação do plano tangente a S no ponto (2,0,2) e um vetor normal a S nesse ponto.
    b) Determinar as equações paramétricas da reta normal a S no ponto.
    c) Calcular a taxa de variação direcional de f no ponto (2,0) na direção do vetor (-3,2). Dizer se há crescimento ou decrescimento.
    d) Determinar a maior taxa de variação de f no ponto (2,0).

Passo 2

Coloco tudo no formato F(x,y,z)=0 para trabalhar com gradiente:
F(x,y,z)=e^{x^{2}-z^{2}}+x^{3}y^{2}+x^{3}-z^{3}+z-3+y.
Explico como obter derivadas parciais (aquelas são usadas tanto para f_x,f_y por diferenciação implícita quanto para o vetor normal \nabla F).
Calculo F_x aplicando regra da cadeia e soma de termos:
  • Derivada de e^{x^{2}-z^{2}} em relação a x é 2x e^{x^{2}-z^{2}} (porque derivada de x^{2}-z^{2} em x é 2x).
  • Derivada de x^{3}y^{2} em relação a x é 3x^{2}y^{2}.
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
    Logo,
F_x=2x e^{x^{2}-z^{2}}+3x^{2}y^{2}+3x^{2}.
Calculo F_y:
  • Derivada de x^{3}y^{2} em y é 2x^{3}y.
  • Derivada de y é 1.
    Logo,
F_y=2x^{3}y+1.
Calculo F_z:
  • Derivada de e^{x^{2}-z^{2}} em z é -2z e^{x^{2}-z^{2}} (regra da cadeia, derivada de -z^{2} é -2z).
  • Derivada de -z^{3} é -3z^{2}.
  • Derivada de +z é 1.
    Logo,
F_z=-2z e^{x^{2}-z^{2}}-3z^{2}+1.

Passo 3

Avalio as derivadas no ponto (x,y,z)=(2,0,2). Observação útil: x^{2}-z^{2}=4-4=0 então e^{x^{2}-z^{2}}=e^{0}=1.
Substituindo:
F_x(2,0,2)=2\cdot2\cdot1 + 3\cdot 2^{2}\cdot 0^{2} + 3\cdot 2^{2} = 4 + 0 + 12 = 16.
F_y(2,0,2)=2\cdot 2^{3}\cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1.
F_z(2,0,2)=-2\cdot 2\cdot 1 - 3\cdot 2^{2} + 1 = -4 -12 +1 = -15.

Passo 4

Agora uso diferenciação implícita para obter f_x e f_y. Se F(x,y,f(x,y))\equiv 0, diferenciando em x obtemos
F_x + F_z f_x = 0 \quad\Rightarrow\quad f_x = -\frac{F_x}{F_z}.
Analogamente, diferenciando em y:
F_y + F_z f_y = 0 \quad\Rightarrow\quad f_y = -\frac{F_y}{F_z}.
Substituo os valores no ponto:
f_x(2,0) = -\frac{F_x(2,0,2)}{F_z(2,0,2)} = -\frac{16}{-15} = \frac{16}{15}.
f_y(2,0) = -\frac{F_y(2,0,2)}{F_z(2,0,2)} = -\frac{1}{-15} = \frac{1}{15}.
Comentário rápido: estes são as derivadas parciais de z=f(x,y) no ponto; servem para o plano tangente e para a derivada direcional.

Passo 5

Plano tangente: para a superfície F(x,y,z)=0 o vetor normal é \nabla F=(F_x,F_y,F_z). No ponto obtivemos \nabla F(2,0,2)=(16,1,-15). O plano tangente em (2,0,2) tem a forma ponto-normal:
\nabla F(2,0,2)\cdot\bigl((x,y,z)-(2,0,2)\bigr)=0.
Isto dá
16(x-2)+1(y-0)-15(z-2)=0.
Posso simplificar:
16x + y -15z -2 = 0.

Passo 6

Vetor normal: como já expliquei, \nabla F(2,0,2)=(16,1,-15) é um vetor normal à superfície em (2,0,2). (Observação alternativa: para uma função z=f(x,y) um normal é (-f_x,-f_y,1)=\bigl(-\tfrac{16}{15},-\tfrac{1}{15},1\bigr), que é paralelo a (16,1,-15).)

Passo 7

Reta normal: a reta que passa por (2,0,2) na direção do vetor normal (16,1,-15) tem equações paramétricas com parâmetro t:
x=2+16t,\quad y=0+1t,\quad z=2-15t.
(Isto é, (x,y,z)=(2,0,2)+t(16,1,-15).)

Passo 8

Taxa de variação direcional: para z=f(x,y) a derivada direcional na direção de um vetor \mathbf{v} em (2,0) é
D_{\mathbf{u}} f = \nabla f(2,0)\cdot \mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}. Temos \nabla f(2,0)=(f_x,f_y)=\bigl(\tfrac{16}{15},\tfrac{1}{15}\bigr).
O vetor dado é \mathbf{v}=(-3,2). Primeiro normalizo:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.
Assim \mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{13}}(-3,2).
Agora o produto escalar:
D_{\mathbf{u}} f = \bigl(\tfrac{16}{15},\tfrac{1}{15}\bigr)\cdot\frac{1}{\sqrt{13}}(-3,2) = \frac{1}{15\sqrt{13}}\bigl(16\cdot(-3)+1\cdot 2\bigr) = \frac{-48+2}{15\sqrt{13}} = \frac{-46}{15\sqrt{13}}.
Como o resultado é negativo, há decrescimento da função f na direção de (-3,2) no ponto (2,0).

Passo 9

Maior taxa de variação: pela teoria das derivadas direcionais, a maior taxa de variação absoluta de f no ponto é o comprimento do gradiente \nabla f(2,0):
\|\nabla f(2,0)\|=\sqrt{\left(\tfrac{16}{15}\right)^{2}+\left(\tfrac{1}{15}\right)^{2}} = \frac{1}{15}\sqrt{16^{2}+1^{2}} = \frac{\sqrt{257}}{15}.
Esta é a taxa máxima de aumento; a direção em que isso ocorre é a direção do vetor (16,1) (i.e. vetor unitário \tfrac{1}{\sqrt{257}}(16,1)).

Resposta

a) Plano tangente: 16x+y-15z-2=0. Vetor normal: (16,1,-15).
b) Reta normal (paramétrica): x=2+16t,\\ y=t,\\ z=2-15t.
c) Taxa direcional em direção a (-3,2): \displaystyle \frac{-46}{15\sqrt{13}}. Há decrescimento.
d) Maior taxa de variação no ponto: \displaystyle \frac{\sqrt{257}}{15}.

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