Questão (4 pontos): Seja
a superfície definida pela equação
Suponha
função diferenciável definida implicitamente pela equação de
acima e tal que
.
a) Determine a equação do plano tangente e o vetor normal à superfície no ponto
.
b) Determine as equações paramétricas da reta normal a
no ponto.
c) Determine a taxa de variação da função no ponto
e na direção do vetor
. Há crescimento ou decrescimento?
d) Qual é a maior taxa de variação da função no ponto?
a) Determine a equação do plano tangente e o vetor normal à superfície no ponto
b) Determine as equações paramétricas da reta normal a
c) Determine a taxa de variação da função no ponto
d) Qual é a maior taxa de variação da função no ponto?
Passo 1
Liste do que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: a superfície
definida implicitamente pela equação
- Sabemos que
é diferenciável e que . Ou seja, o ponto da superfície é . - Perguntas:
a) Determinar a equação do plano tangente ano ponto e um vetor normal a nesse ponto.
b) Determinar as equações paramétricas da reta normal ano ponto.
c) Calcular a taxa de variação direcional deno ponto na direção do vetor . Dizer se há crescimento ou decrescimento.
d) Determinar a maior taxa de variação deno ponto .
Passo 2
Coloco tudo no formato
para trabalhar com gradiente:
Explico como obter derivadas parciais (aquelas são usadas tanto para
por diferenciação implícita quanto para o vetor normal
).
Calculo
aplicando regra da cadeia e soma de termos:
- Derivada de
em relação a é (porque derivada de em é ). - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é .
Logo,
Calculo
:
- Derivada de
em é . - Derivada de
é .
Logo,
Calculo
:
- Derivada de
em é (regra da cadeia, derivada de é ). - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo,
Passo 3
Avalio as derivadas no ponto
. Observação útil:
então
.
Substituindo:
Passo 4
Agora uso diferenciação implícita para obter
e
. Se
, diferenciando em
obtemos
Analogamente, diferenciando em
:
Substituo os valores no ponto:
Comentário rápido: estes são as derivadas parciais de
no ponto; servem para o plano tangente e para a derivada direcional.
Passo 5
Plano tangente: para a superfície
o vetor normal é
. No ponto obtivemos
. O plano tangente em
tem a forma ponto-normal:
Isto dá
Posso simplificar:
Passo 6
Vetor normal: como já expliquei,
é um vetor normal à superfície em
. (Observação alternativa: para uma função
um normal é
, que é paralelo a
.)
Passo 7
Reta normal: a reta que passa por
na direção do vetor normal
tem equações paramétricas com parâmetro
:
(Isto é,
.)
Passo 8
Taxa de variação direcional: para
a derivada direcional na direção de um vetor
em
é
onde
é o vetor unitário na direção de
. Temos
.
O vetor dado é
. Primeiro normalizo:
Assim
.
Agora o produto escalar:
Como o resultado é negativo, há decrescimento da função
na direção de
no ponto
.
Passo 9
Maior taxa de variação: pela teoria das derivadas direcionais, a maior taxa de variação absoluta de
no ponto é o comprimento do gradiente
:
Esta é a taxa máxima de aumento; a direção em que isso ocorre é a direção do vetor
(i.e. vetor unitário
).
Resposta
a) Plano tangente:
Vetor normal:
b) Reta normal (paramétrica):
c) Taxa direcional em direção a
:
. Há decrescimento.
d) Maior taxa de variação no ponto:
.