com parâmetro real p, e pede para estudar a convergência/divergência em função de p.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A soma vai de n=2 até infinito.
Os termos gerais são a_n = (-1)^{n-1}\dfrac{(\ln n)^{p}}{n}.
O parâmetro p é um número real livre; precisamos classificar para quais valores de p a série converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge.
Passo 2
Vamos primeiro testar a convergência absoluta: considerar a série dos módulos
onde, para simplificar, tomamos (\ln n)^{p} entendido como positivo quando apropriado (se p for não inteiro e negativo a expressão ainda é positiva para n\ge2). Para estudar essa série de termos positivos usamos o teste da integral (Integral Test), que pede analisar a integral imprópria correspondente:
\int_{2}^{\infty}\frac{(\ln x)^{p}}{x}\,dx.
Agora fazemos a substituição padrão t=\ln x. Então dt=\dfrac{dx}{x} e, quando x=2 temos t=\ln 2, quando x\to\infty temos t\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{p}\,dt.
Passo 3
Analisando a integral
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{p}\,dt,
sabemos (fato elementar sobre integrais de potências) que ela converge se, e somente se, o expoente satisfaz p<-1. Explicando rápido:
Se p\neq-1, a primitiva é \dfrac{t^{p+1}}{p+1}, e o limite quando t\to\infty é finito somente se p+1<0, isto é p<-1.
Se p=-1, a integral vira \int_{\ln 2}^{\infty}\dfrac{1}{t}\,dt, que diverge (logaritmo que vai a +\infty).
Portanto a integral (e por consequência a série dos módulos) converge exatamente quando p<-1. Conclusão parcial:
A série é absolutamente convergente para p<-1.
Para p\ge -1 a série dos módulos diverge (logo não há convergência absoluta nesses casos).
Passo 4
Agora investigamos a convergência condicional: aplicaremos o teste de Leibniz (teste da série alternada). Para isso precisamos ver as duas condições sobre os termos positivos
b_n=\frac{(\ln n)^{p}}{n}:
(i) b_n\to 0 quando n\to\infty; (ii) b_n é monótono decrescente a partir de algum N.
Primeiro mostramos que b_n\to 0 para todo p\in\mathbb{R}. Considere a função contínua correspondente f(x)=\dfrac{(\ln x)^{p}}{x} para x\ge2. Fazendo x=e^{t} (com t\to\infty quando x\to\infty) obtemos
É um fato padrão (pode-se provar aplicando L’Hôpital repetidamente ou lembrando que a exponencial cresce mais rápido que qualquer potência) que
\lim_{t\to\infty}\frac{t^{p}}{e^{t}}=0
para todo p real. Logo b_n\to0.
Passo 5
Agora a monotonicidade eventual de b_n. Trabalhamos com a função contínua f(x)=\dfrac{(\ln x)^{p}}{x} e calculamos a derivada para verificar onde ela é decrescente:
Para x>e^{p} temos \ln x>p, logo p-\ln x<0 e assim f'(x)<0. Isso mostra que f (e, por consequência, a sequência b_n=f(n)) é decrescente a partir de qualquer índice N tal que N>e^{p}. Como e^{p} é finito para todo p, concluímos que b_n é monotonicamente decrescente a partir de algum N.
Passo 6
Com (i) b_n\to0 e (ii) b_n decrescente a partir de algum N, o teste de Leibniz garante que a série alternada