Estude a convergência/divergência, em termos do parâmetro p, de cada série dada a seguir.
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{(\ln n)^{p}}{n}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(\ln n)^{p}}{n}
com parâmetro real p, e pede para estudar a convergência/divergência em função de p.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A soma vai de n=2 até infinito.
  • Os termos gerais são a_n = (-1)^{n-1}\dfrac{(\ln n)^{p}}{n}.
  • O parâmetro p é um número real livre; precisamos classificar para quais valores de p a série converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge.

Passo 2

Vamos primeiro testar a convergência absoluta: considerar a série dos módulos
\sum_{n=2}^{\infty}\left|\frac{(\ln n)^{p}}{n}\right|=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(\ln n)^{p}}{n},
onde, para simplificar, tomamos (\ln n)^{p} entendido como positivo quando apropriado (se p for não inteiro e negativo a expressão ainda é positiva para n\ge2). Para estudar essa série de termos positivos usamos o teste da integral (Integral Test), que pede analisar a integral imprópria correspondente:
\int_{2}^{\infty}\frac{(\ln x)^{p}}{x}\,dx.
Agora fazemos a substituição padrão t=\ln x. Então dt=\dfrac{dx}{x} e, quando x=2 temos t=\ln 2, quando x\to\infty temos t\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{p}\,dt.

Passo 3

Analisando a integral
\int_{\ln 2}^{\infty} t^{p}\,dt,
sabemos (fato elementar sobre integrais de potências) que ela converge se, e somente se, o expoente satisfaz p<-1. Explicando rápido:
  • Se p\neq-1, a primitiva é \dfrac{t^{p+1}}{p+1}, e o limite quando t\to\infty é finito somente se p+1<0, isto é p<-1.
  • Se p=-1, a integral vira \int_{\ln 2}^{\infty}\dfrac{1}{t}\,dt, que diverge (logaritmo que vai a +\infty).
Portanto a integral (e por consequência a série dos módulos) converge exatamente quando p<-1. Conclusão parcial:
  • A série é absolutamente convergente para p<-1.
  • Para p\ge -1 a série dos módulos diverge (logo não há convergência absoluta nesses casos).

Passo 4

Agora investigamos a convergência condicional: aplicaremos o teste de Leibniz (teste da série alternada). Para isso precisamos ver as duas condições sobre os termos positivos
b_n=\frac{(\ln n)^{p}}{n}:
(i) b_n\to 0 quando n\to\infty; (ii) b_n é monótono decrescente a partir de algum N.
Primeiro mostramos que b_n\to 0 para todo p\in\mathbb{R}. Considere a função contínua correspondente f(x)=\dfrac{(\ln x)^{p}}{x} para x\ge2. Fazendo x=e^{t} (com t\to\infty quando x\to\infty) obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{(\ln x)^{p}}{x}=\lim_{t\to\infty}\frac{t^{p}}{e^{t}}.
É um fato padrão (pode-se provar aplicando L’Hôpital repetidamente ou lembrando que a exponencial cresce mais rápido que qualquer potência) que
\lim_{t\to\infty}\frac{t^{p}}{e^{t}}=0
para todo p real. Logo b_n\to0.

Passo 5

Agora a monotonicidade eventual de b_n. Trabalhamos com a função contínua f(x)=\dfrac{(\ln x)^{p}}{x} e calculamos a derivada para verificar onde ela é decrescente:
\ln f(x)=p\ln(\ln x)-\ln x,
portanto
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{p}{x\ln x}-\frac{1}{x}=\frac{p-\ln x}{x\ln x}.
Daí
f'(x)=f(x)\cdot\frac{p-\ln x}{x\ln x}.
Para x>e^{p} temos \ln x>p, logo p-\ln x<0 e assim f'(x)<0. Isso mostra que f (e, por consequência, a sequência b_n=f(n)) é decrescente a partir de qualquer índice N tal que N>e^{p}. Como e^{p} é finito para todo p, concluímos que b_n é monotonicamente decrescente a partir de algum N.

Passo 6

Com (i) b_n\to0 e (ii) b_n decrescente a partir de algum N, o teste de Leibniz garante que a série alternada
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{(\ln n)^{p}}{n}
converge para todo p\in\mathbb{R}.
Combinando com o resultado da convergência absoluta do Passo 3, obtemos a classificação completa:
  • para p<-1 a série converge absolutamente (portanto converge);
  • para p\ge-1 a série não converge absolutamente, mas como é alternada e satisfaz as hipóteses de Leibniz, ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge absolutamente para p<-1.
A série converge condicionalmente para p\ge -1.

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