Estude a convergência/divergência, em termos do parâmetro p, de cada série dada a seguir. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{p}}.
Passo 1
O enunciado pede: estudar a convergência ou divergência, em função do parâmetro p, da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{p}}.
Informações relevantes fornecidas:
A série é alternada pelo fator (-1)^{n-1}.
O termo geral (em módulo) é \dfrac{1}{n^{p}}.
O parâmetro p é a variável da questão (vamos considerar p\in\mathbb{R}).
As perguntas implícitas: para que valores de p a série converge? Quando converge absolutamente? Quando diverge?
Passo 2
Primeiro passo técnico básico: se uma série converge, o seu termo geral deve tender a zero. Vamos usar isso para eliminar valores de p.
O termo geral é (-1)^{n-1}\dfrac{1}{n^{p}}. Então olhamos o limite de \dfrac{1}{n^{p}} quando n\to\infty.
Se p=0 então \dfrac{1}{n^{p}}=\dfrac{1}{n^{0}}=1 para todo n, logo o termo geral não tende a zero. Portanto a série
Se p<0 escrevemos \dfrac{1}{n^{p}}=n^{-p} com -p>0. Assim \dfrac{1}{n^{p}}=n^{-p}\to\infty quando n\to\infty, logo os termos não tendem a zero e a série diverge.
Conclusão desta etapa: para todo p\le 0 a série diverge por falha da condição necessária de convergência (o termo geral não tende a zero).
Passo 3
Agora consideramos p>0. Vamos mostrar que os termos tendem a zero e que a sequência \left(\dfrac{1}{n^{p}}\right)_{n} é monótona decrescente, condições úteis para aplicar o teste de séries alternadas.
Limite dos termos: se p>0 então n^{p}\to\infty quando n\to\infty, portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{p}}=0.
Isso mostra que o termo geral da série alternada vai a zero.
Monotonicidade: considere a função f(x)=x^{-p} definida em [1,\infty). A derivada é
f'(x)=-p\,x^{-p-1}.
Como p>0 e x^{-p-1}>0 para x\ge1, temos f'(x)<0. Logo f é estritamente decrescente em [1,\infty), o que implica que a sequência \dfrac{1}{n^{p}}=f(n) é decrescente em n.
Tendo verificado que os termos tendem a zero e são monotonicamente decrescentes (em módulo), podemos usar o teste clássico para séries alternadas (teste de Leibniz): se os termos em módulo formam uma sequência decrescente que tende a zero, então a série alternada converge.
Aplicando o teste de Leibniz, para todo p>0 a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{p}}
converge (pelo teste de séries alternadas).
Passo 4
Agora precisamos decidir sobre convergência absoluta. Estudamos a série das normas:
Essa é a conhecida série p-série. O teste padrão (teste integral ou resultado clássico) diz que a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Vou mostrar isso rapidamente pelo teste da integral:
Considere a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx.
Se p\neq 1, a antiderivada é \dfrac{x^{1-p}}{1-p}. Então
Esse limite é finito exatamente quando 1-p<0, isto é, quando p>1. Para p>1 a integral converge; para p<1 diverge.
Se p=1, a integral é \int_{1}^{\infty}\dfrac{1}{x}\,dx que diverge (logaritmo que vai para infinito).
Pelo teste da integral (ou pelo resultado padrão do p-série), concluímos: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Consequentemente:
Se p>1 a série original converge absolutamente.
Se 0<p\le 1 a série das normas diverge, isto é, não converge absolutamente.
Passo 5
Juntando os resultados das etapas anteriores, temos a classificação completa:
Para p\le 0: a série diverge (os termos não tendem a zero).
Para 0<p\le 1: a série converge pela alternância (teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (a p-série com p\le1 diverge). Isso chama-se convergência condicional.
Para p>1: a série converge absolutamente (portanto converge).
Como exemplo concreto de reforço: para p=1 obtemos a série alternada harmônica \sum (-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}, que converge condicionalmente (o valor soma a \ln 2, mas isso é só um detalhe extra); para p=2 a série converge absolutamente pois \sum 1/n^{2} converge.
Resposta
p\le 0: diverge. 0<p\le 1: converge condicionalmente (converge, mas não absolutamente). p>1: converge absolutamente (portanto converge).