Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
y^{2}=2 x e x^{2}=2 y

Passo 1

O que o problema pede: encontrar a área da região limitada pelas curvas y^{2}=2x e x^{2}=2y.
Informações dadas no enunciado:
  • Duas curvas definidas implicitamente por y^{2}=2x e x^{2}=2y.
  • Não há outras restrições explícitas (logo a região é a parte do plano que fica fechada pelas duas curvas onde elas se intersectam).

Passo 2

Encontrar os pontos de intersecção das curvas (esses pontos vão delimitar os limites da região). Para isso, vamos resolver o sistema
\begin{cases} y^{2}=2x,\\[4pt] x^{2}=2y. \end{cases}
Da primeira equação isolamos x:
x=\frac{y^{2}}{2}.
Substituímos na segunda equação:
\left(\frac{y^{2}}{2}\right)^{2}=2y.
Desenvolvendo:
\frac{y^{4}}{4}=2y \quad\Rightarrow\quad y^{4}=8y.
Colocando tudo num lado:
y^{4}-8y=0 \quad\Rightarrow\quad y\,(y^{3}-8)=0.
Logo y=0 ou y^{3}=8\Rightarrow y=2. Para cada y encontramos x usando x=\dfrac{y^{2}}{2}:
  • Se y=0 então x=0, ponto (0,0).
  • Se y=2 então x=\dfrac{2^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}=2, ponto (2,2).
Portanto as curvas se intersectam em (0,0) e (2,2).]

Passo 3

Decidir como calcular a área: integraremos em relação a y. Por quê? Porque ambas as curvas podem ser escritas facilmente como funções x=f(y) (ou pela parte relevante delas) e a região entre as interseções tem fatias horizontais simples de y=0 a y=2.
Escrever as curvas como x em função de y:
  • Da equação y^{2}=2x temos
x=\frac{y^{2}}{2}.
  • Da equação x^{2}=2y isolamos x:
x=\pm\sqrt{2y}.
A região limitada que liga (0,0) a (2,2) está no primeiro quadrante, então usamos o ramo positivo x=\sqrt{2y}.
Precisamos saber, para y entre 0 e 2, qual curva dá x maior (direita) e qual dá x menor (esquerda). Comparar
\sqrt{2y}\quad\text{e}\quad \frac{y^{2}}{2}.
Ambas são \ge 0 para y\in[0,2]. Para decidir a ordem, considere a diferença
\sqrt{2y}-\frac{y^{2}}{2}.
Queremos ver se ela é não negativa em [0,2]. Podemos elevar ao quadrado com cuidado ou usar a mesma técnica que usamos nas interseções: considere o polinômio equivalente. Multiplicando e rearranjando chega-se novamente a uma expressão proporcional a y(y^{3}-8), que para 0\le y\le2 é \ge 0. Teste numérico rápido (por exemplo y=1) também mostra \sqrt{2}\approx1,414>\tfrac{1}{2}. Em particular, em [0,2] temos
\sqrt{2y}\ge \frac{y^{2}}{2},
ou seja, x_{\text{direita}}=\sqrt{2y} e x_{\text{esquerda}}=\dfrac{y^{2}}{2}.

Passo 4

Fórmula da área entre curvas (integrando em y): se uma região é delimitada por duas curvas dadas por x=x_{\text{direita}}(y) e x=x_{\text{esquerda}}(y), com y variando de a a b, então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.Á
Aplicando ao nosso caso, com a=0, b=2, x_{\text{direita}}(y)=\sqrt{2y} e x_{\text{esquerda}}(y)=\dfrac{y^{2}}{2}, obtemos
\text{Área}=\int_{0}^{2}\left(\sqrt{2y}-\frac{y^{2}}{2}\right)dy.Á

Passo 5

Calcular a integral da primeira parcela \displaystyle\int_{0}^{2}\sqrt{2y}\,dy.
Reescrevendo \sqrt{2y}=(2)^{1/2}y^{1/2}. Usamos a regra de potência para integração: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, então
\int_{0}^{2}\sqrt{2y}\,dy=(2)^{1/2}\int_{0}^{2}y^{1/2}dy=(2)^{1/2}\left[\frac{y^{3/2}}{3/2}\right]_{0}^{2}=(2)^{1/2}\cdot\frac{2}{3}\,y^{3/2}\Big|_{0}^{2}.
Avaliar em y=2:
(2)^{1/2}\cdot\frac{2}{3}\cdot(2)^{3/2}=\frac{2}{3}\,(2)^{1/2+3/2}=\frac{2}{3}\,(2)^{2}=\frac{2}{3}\cdot4=\frac{8}{3}.
Portanto
\int_{0}^{2}\sqrt{2y}\,dy=\frac{8}{3}.

Passo 6

Calcular a integral da segunda parcela \displaystyle\int_{0}^{2}\frac{y^{2}}{2}\,dy.
Fatorando constante:
\int_{0}^{2}\frac{y^{2}}{2}\,dy=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}y^{2}\,dy=\frac{1}{2}\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.

Passo 7

Subtrair as duas parcelas para obter a área total:
\text{Área}=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}.Á
Interpretação final: a região fechada entre as duas parábolas tem área \dfrac{4}{3} (unidades de área).

Resposta

\dfrac{4}{3}

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