Logo y=0 ou y^{3}=8\Rightarrow y=2. Para cada y encontramos x usando x=\dfrac{y^{2}}{2}:
Se y=0 então x=0, ponto (0,0).
Se y=2 então x=\dfrac{2^{2}}{2}=\dfrac{4}{2}=2, ponto (2,2).
Portanto as curvas se intersectam em (0,0) e (2,2).]
Passo 3
Decidir como calcular a área: integraremos em relação a y. Por quê? Porque ambas as curvas podem ser escritas facilmente como funções x=f(y) (ou pela parte relevante delas) e a região entre as interseções tem fatias horizontais simples de y=0 a y=2.
Escrever as curvas como x em função de y:
Da equação y^{2}=2x temos
x=\frac{y^{2}}{2}.
Da equação x^{2}=2y isolamos x:
x=\pm\sqrt{2y}.
A região limitada que liga (0,0) a (2,2) está no primeiro quadrante, então usamos o ramo positivo x=\sqrt{2y}.
Precisamos saber, para y entre 0 e 2, qual curva dá x maior (direita) e qual dá x menor (esquerda). Comparar
\sqrt{2y}\quad\text{e}\quad \frac{y^{2}}{2}.
Ambas são \ge 0 para y\in[0,2]. Para decidir a ordem, considere a diferença
\sqrt{2y}-\frac{y^{2}}{2}.
Queremos ver se ela é não negativa em [0,2]. Podemos elevar ao quadrado com cuidado ou usar a mesma técnica que usamos nas interseções: considere o polinômio equivalente. Multiplicando e rearranjando chega-se novamente a uma expressão proporcional a y(y^{3}-8), que para 0\le y\le2 é \ge 0. Teste numérico rápido (por exemplo y=1) também mostra \sqrt{2}\approx1,414>\tfrac{1}{2}. Em particular, em [0,2] temos
\sqrt{2y}\ge \frac{y^{2}}{2},
ou seja, x_{\text{direita}}=\sqrt{2y} e x_{\text{esquerda}}=\dfrac{y^{2}}{2}.
Passo 4
Fórmula da área entre curvas (integrando em y): se uma região é delimitada por duas curvas dadas por x=x_{\text{direita}}(y) e x=x_{\text{esquerda}}(y), com y variando de a a b, então a área é