Verifique, por meio do Teste da Razão ou do Teste da Raiz, se cada série dada a seguir é (absolutamente) convergente ou divergente. \sum^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n!}.
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique, por meio do Teste da Razão ou do Teste da Raiz, se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n^{2}}}{n!}
é convergente, divergente ou absolutamente convergente. Informação dada: o termo geral da série é
a_n=\frac{2^{n^{2}}}{n!}.
Nada mais foi pedido além de decidir (absoluta) convergência/divergência.
Passo 2
Vou usar o Teste da Razão porque o enunciado permite e porque ele costuma simplificar muito quando aparecem fatoriais e potências com n alterado para n+1.
Relembrando o Teste da Razão (de forma simples): para uma série com termos a_n (assumimos a_n\neq0),
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui cada símbolo significa: a_n é o termo geral, a_{n+1} o termo seguinte, e L o limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 3
Calculo a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Começo escrevendo explicitamente a_{n+1}:
Simplifico a expressão passo a passo. Primeiro a potência:
(n+1)^2-n^2=2n+1,
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\frac{2^{(n+1)^2}}{2^{n^2}}=2^{2n+1}.
E para o fatorial:
\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{2n+1}}{n+1}.
Posso também escrever
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2\cdot 4^{n}}{n+1}.
Passo 5
Analiso o limite dessa razão quando n\to\infty. A expressão \dfrac{2\cdot 4^{n}}{n+1} tem um numerador que cresce geometricamente (4^n) e um denominador que cresce apenas linearmente (n+1). Uma potência geométrica com base maior que 1 cresce muito mais rápido que qualquer polinômio; assim
Logo o limite L do Teste da Razão é L=+\infty, isto é, L>1.
Passo 6
Pelo Teste da Razão, se L>1 a série diverge. Como todos os termos a_n são positivos, a série não é absolutamente convergente (convergência absoluta coincide com convergência neste caso). Também é intuitivo notar que se a razão entre termos consecutivos tende a infinito então os termos não tendem a zero, o que já garante divergência (série com termos não tendendo a zero diverge).
Resposta
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n^{2}}}{n!} é divergente (não é absolutamente convergente).