Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{1}{n^{p} \ln (n)}) (escreva em função de p \in \mathbb{R} )

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p}\,\ln(n)}
em função de p\in\mathbb{R}. O método que vamos usar é o Teste de Condensação de Cauchy, pois ele é muito eficiente quando aparece fator \ln(n).

Passo 2

Primeiro, notamos que para n\ge2 os termos
a_n = \frac{1}{n^{p}\,\ln(n)}
são positivos e monotonicamente decrescentes em n. De fato, a função contínua
f(x)=\frac{1}{x^{p}\ln(x)},\quad x\ge2,
tem derivada negativa quando x\ge2, garantindo a queda de a_n.

Passo 3

O Teste de Condensação de Cauchy afirma que, para a_n positivo e decrescente,
\sum_{n=2}^{\infty} a_n \quad\text{converge} \;\Longleftrightarrow\; \sum_{k=1}^{\infty} 2^k\,a_{2^k} \quad\text{converge}.
Aqui calculamos
2^k\,a_{2^k} =2^k\;\frac{1}{(2^k)^{p}\,\ln(2^k)} =\frac{2^k}{2^{kp}\,k\ln(2)} =\frac{2^{k(1-p)}}{k\,\ln(2)}\;.

Passo 4

Logo a série condensada é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^{k(1-p)}}{k\,\ln(2)} =\frac{1}{\ln(2)} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl(2^{\,1-p}\bigr)^{k}}{k}.
Isto é uma série de potências em r=2^{\,1-p} dividida por k. Sabemos que
  • se \lvert r\rvert<1, então \sum r^k/k converge (é a expansão de -\ln(1-r)),
  • se \lvert r\rvert\ge1, então \sum r^k/k diverge (os termos não tendem a zero ou formam a série harmônica).
No nosso caso \lvert r\rvert=2^{1-p}, logo
2^{1-p}<1 \;\Longleftrightarrow\; 1-p<0 \;\Longleftrightarrow\; p>1.

Passo 5

Concluímos que a série condensada (e portanto a série original) só converge se e somente se p>1. Para p\le1 a série diverge, pois ou r\ge1 faz os termos não irem a zero ( p<1), ou no caso crítico p=1 ela vira
\sum1/(n\ln n), que diverge pelo teste da integral.

Resposta

A série converge exatamente para p>1 e diverge para p\le1.

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