Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{1}{n^{p} \ln (n)}) (escreva em função de
)
\sum \frac{1}{n^{p} \ln (n)}) (escreva em função de
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
em função de
. O método que vamos usar é o Teste de Condensação de Cauchy, pois ele é muito eficiente quando aparece fator
.
Passo 2
Primeiro, notamos que para
os termos
são positivos e monotonicamente decrescentes em
. De fato, a função contínua
tem derivada negativa quando
, garantindo a queda de
.
Passo 3
O Teste de Condensação de Cauchy afirma que, para
positivo e decrescente,
Aqui calculamos
Passo 4
Logo a série condensada é
Isto é uma série de potências em
dividida por
. Sabemos que
- se
, então converge (é a expansão de ), - se
, então diverge (os termos não tendem a zero ou formam a série harmônica).
No nosso caso
, logo
Passo 5
Concluímos que a série condensada (e portanto a série original) só converge se e somente se
. Para
a série diverge, pois ou
faz os termos não irem a zero (
), ou no caso crítico
ela vira
, que diverge pelo teste da integral.
Resposta
A série converge exatamente para
e diverge para
.