Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n{p}}{\mathrm{e}{n}}) (escreva em função de p \in \mathbb{R} )

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{e^{n}}
em função de p \in \mathbb{R}. O conteúdo necessário é o estudo de séries numéricas e, em particular, o critério da razão (d’Alembert) para testar convergência absoluta.

Passo 2

Seja a_{n}=\frac{n^{p}}{e^{n}}. O critério da razão diz que, se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
existe e L<1, então a série \sum a_{n} converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\frac{(n+1)^{p}}{e^{\,n+1}}}{\frac{n^{p}}{e^{\,n}}} =\frac{(n+1)^{p}}{n^{p}}\cdot\frac{1}{e} =\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{p}\frac{1}{e}.
Tomando limite,
L=\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{p}\frac{1}{e} =\frac{1}{e}<1.
Como L<1 independe de p, a série converge absolutamente para todo p\in\mathbb{R}.

Resposta

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{p}}{e^{n}}
converge absolutamente para todo p\in\mathbb{R}.

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