Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n !}{3 \times 5 \times 7 \times \cdots \times(2 n+3)}

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{3\times5\times7\times\cdots\times(2n+3)}.
O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão, que compara a_{n+1}/a_n e conclui convergência absoluta se esse quociente tende a um valor menor que 1.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{n!}{\prod_{k=1}^{n+1}(2k+1)},
pois \prod_{k=1}^{n+1}(2k+1)=3\cdot5\cdot7\cdots(2n+3). Vamos calcular o quociente a_{n+1}/a_n:

Passo 3

\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n+2}(2k+1)} \;\Bigg/\; \frac{n!}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n+1}(2k+1)} = \frac{(n+1)!}{n!}\,\frac{\prod_{k=1}^{n+1}(2k+1)}{\prod_{k=1}^{n+2}(2k+1)} = \frac{n+1}{2n+5}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+5} = \tfrac{1}{2} < 1.
Pelo Teste da Razão, como esse limite é menor que 1, a série \emph{converge absolutamente}.

Resposta

A série é convergente (convergência absoluta pelo Teste da Razão).

Exercícios relacionados