Portanto a série original e \sum n^{1-p} têm o mesmo caráter de convergência. A série-p \sum n^{1-p} converge se, e só se, o expoente -(1-p)<-1, ou seja
1-p<-1 \quad\Longleftrightarrow\quad p>2.
Logo, quando p>2, a série converge; quando 0<p\le2, ela diverge.
Passo 3
Considere agora p\le0.
Para p=0 temos
a_{n}=\frac{n}{1+0}=n,
cujo termo geral não tende a zero, logo a série diverge.
Para p<0 temos n^{p}=1/n^{|p|}\to0 e \ln(n^{p})=p\,\ln n\to-\infty, de modo que, em módulo,