Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n}{n^{p}+\ln \left(n^{p}\right)} \quad) (escreva em função de p \in \mathbb{R} )

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{p} + \ln\bigl(n^{p}\bigr)},
em função de p\in\mathbb{R}.
Conteúdo: séries numéricas, comparação assintótica e teste da série-p.

Passo 2

Suponha primeiro p>0. Note que
\ln\bigl(n^{p}\bigr)=p\,\ln n,
logo o denominador é
n^{p}+p\,\ln n =n^{p}\Bigl(1+\tfrac{p\,\ln n}{n^{p}}\Bigr).
Como \tfrac{\ln n}{n^{p}}\to0 quando n\to\infty, segue
\frac{n}{n^{p}+p\,\ln n} \sim \frac{n}{n^{p}} = n^{1-p}.
Aplicando o teste de comparação limite com a série-p, definimos
b_{n}=n^{1-p}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} =\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{n^{p}+p\,\ln n}}{n^{1-p}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{p}}{n^{p}+p\,\ln n} =1.
Portanto a série original e \sum n^{1-p} têm o mesmo caráter de convergência. A série-p \sum n^{1-p} converge se, e só se, o expoente -(1-p)<-1, ou seja
1-p<-1 \quad\Longleftrightarrow\quad p>2.
Logo, quando p>2, a série converge; quando 0<p\le2, ela diverge.

Passo 3

Considere agora p\le0.
Para p=0 temos
a_{n}=\frac{n}{1+0}=n,
cujo termo geral não tende a zero, logo a série diverge.
Para p<0 temos n^{p}=1/n^{|p|}\to0 e \ln(n^{p})=p\,\ln n\to-\infty, de modo que, em módulo,
\bigl|a_{n}\bigr| =\frac{n}{|n^{p}+p\,\ln n|} \sim \frac{n}{|p|\,\ln n},
e \frac{n}{\ln n}\to\infty, portanto a_{n}\not\to0 e a série diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{p}+\ln(n^{p})} converge se, e somente se, p>2; diverge para todo p\le2.

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