Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n^{p}}{n !}) (escreva em função de p \in \mathbb{R} )

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{n!},
onde p\in\mathbb{R}.
O conteúdo aqui é teste de convergência para séries de termos positivos; vamos usar o teste da razão de d’Alembert.

Passo 2

Defina o termo geral da série como
a_{n} = \frac{n^{p}}{n!}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)^{p}/(n+1)!}{n^{p}/n!} = \frac{(n+1)^{p}}{n^{p}\,(n+1)} = \frac{\bigl(1+\frac1n\bigr)^{p}}{n+1}.
Como \lim_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac1n\bigr)^{p}=1, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1} = 0.

Passo 3

O teste da razão diz que se
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1,
então a série converge absolutamente. Aqui L=0<1, logo a série converge para qualquer valor de p\in\mathbb{R}.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{p}}{n!} converge absolutamente para todo p\in\mathbb{R}.

Exercícios relacionados