Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum\left(\frac{n+1}{p n}\right)^{n}) (escreva em função de p \in \mathbb{R} )

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n+1}{p\,n}\right)^{n},
onde p\in\mathbb{R}. O conteúdo que vamos usar é o teste da raiz, que analisa
\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 2

Definimos
a_n = \left(\frac{n+1}{p\,n}\right)^{n}.
Aplicando o teste da raiz, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\bigr|} = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{p\,n}\right| = \frac{1}{|p|}\,\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr) = \frac{1}{|p|}.

Passo 3

Pelo teste da raiz:
  • Se L<1, ou seja \frac{1}{|p|}<1, então a série converge absolutamente.
  • Se L>1, ou seja \frac{1}{|p|}>1, então a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo e precisamos verificar separadamente.

Passo 4

A condição \tfrac{1}{|p|}<1 equivale a |p|>1. Portanto para |p|>1 a série converge. Para |p|<1 temos L>1, logo diverge.

Passo 5

Falta examinar o caso |p|=1.
  • Se p=1, então
a_n = \Bigl(\tfrac{n+1}{n}\Bigr)^{n} = \Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr)^{n}\to e,
logo a_n\not\to0 e a série diverge.
  • Se p=-1, então
a_n = \Bigl(\tfrac{n+1}{-n}\Bigr)^{n} = (-1)^{n}\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr)^{n}
cujo módulo tende a e\neq0, logo também diverge.

Resposta

A série converge se, e somente se, |p|>1. Caso contrário (isto é, para |p|\le1) diverge.

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