Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum\left(\frac{n+1}{p n}\right)^{n}) (escreva em função de
)
\sum\left(\frac{n+1}{p n}\right)^{n}) (escreva em função de
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
onde
. O conteúdo que vamos usar é o teste da raiz, que analisa
.
Passo 2
Definimos
Aplicando o teste da raiz, calculamos
Passo 3
Pelo teste da raiz:
- Se
, ou seja , então a série converge absolutamente. - Se
, ou seja , então a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo e precisamos verificar separadamente.
Passo 4
A condição
equivale a
. Portanto para
a série converge. Para
temos
, logo diverge.
Passo 5
Falta examinar o caso
.
- Se
, então
logo
e a série diverge.
- Se
, então
cujo módulo tende a
, logo também diverge.
Resposta
A série converge se, e somente se,
. Caso contrário (isto é, para
) diverge.