Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{n !}{(2 n) !(3 n) !}

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos estudar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{(2n)!\,(3n)!}
Como aparecem fatoriais, o critério mais direto é o critério da razão.

Passo 2

Seja
a_n=\frac{n!}{(2n)!\,(3n)!}\,.
Então
a_{n+1}=\frac{(n+1)!}{(2n+2)!\,(3n+3)!}
e o quociente é
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{(n+1)!}{(2n+2)!\,(3n+3)!}\,\frac{(2n)!\,(3n)!}{n!} =\frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)\,(3n+3)(3n+2)(3n+1)}.

Passo 3

Observe que (2n+2)=2(n+1) e (3n+3)=3(n+1). Assim,
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{n+1}{6\,(n+1)^2\,(2n+1)(3n+2)(3n+1)} =\frac{1}{6\,(n+1)\,(2n+1)\,(3n+2)\,(3n+1)}.
Para n\to\infty, o denominador cresce como 108\,n^4, logo
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\;0.

Passo 4

Pelo critério da razão, como L=0<1, a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{(2n)!\,(3n)!} converge absolutamente pelo critério da razão.

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