Estude a convergência explicitando o método utilizado:
\sum \frac{(2 n+1)^{2 n}}{\left(5 n{2}+1\right){n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+1)^{2n}}{\bigl(5n^{2}+1\bigr)^{n}}.
O conteúdo é séries numéricas de termos positivos e vamos aplicar o critério da raiz (ou critério de Cauchy) para testar convergência.

Passo 2

No critério da raiz, definimos o termo geral
a_{n} = \frac{(2n+1)^{2n}}{\bigl(5n^{2}+1\bigr)^{n}}
e calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}.

Passo 3

Primeiro escrevemos
\sqrt[n]{a_{n}} = \frac{\sqrt[n]{(2n+1)^{2n}}}{\sqrt[n]{(5n^{2}+1)^{n}}} = \frac{(2n+1)^{2}}{5n^{2}+1} = \frac{4n^{2}+4n+1}{5n^{2}+1}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty} \frac{4n^{2}+4n+1}{5n^{2}+1} = \frac{4}{5}.
Como L=\tfrac{4}{5}<1, pelo critério da raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo critério da raiz, pois
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} = \frac{4}{5} < 1.

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