Estude a convergência das integrais a seguir. Calcule aquelas que são convergentes.
integral1^9 1raizx-1 d x.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência e, se convergente, calcular a integral
integral1^9 1raizx-1,dx
O conteúdo aqui é integral imprópria em que o integrando tem singularidade no ponto final do intervalo. Vamos usar o teste de p-integral e o cálculo de antiderivada para resolver.

Passo 2

Identificamos que x=1 é ponto de descontinuidade do integrando. Reescrevemos a integral como limite:
integral1^9 1raizx-1,dx = limepsilonto0^+integral1+epsilon^91raizx-1,dx
Perto de x=1 temos x-1=tto0^+, e o integrando se comporta como t^-1/2. Como em integral0^a t^-1/2dt o expoente 1/2<1, o teste de p-integral garante convergência nesse extremo.

Passo 3

Para calcular a integral interna, determinamos a antiderivada:
integral 1raizx-1,dx = integral (x-1)^-1/2,dx = 2raizx-1+C

Passo 4

Agora avaliamos o limite:
limepsilonto0^+l[,2raizx-1r]x=1+epsilon^x=9 = limepsilonto0^+l(2raiz9-1-2raizepsilonr) = 2raiz8-0 = 4raiz2
Logo a integral converge e seu valor é finito.

Resposta

A integral converge e vale 4raiz2.

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