Estude a convergência das integrais a seguir. Calcule aquelas que são convergentes.
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Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência e, se convergente, calcular a integral
O conteúdo aqui é integral imprópria em que o integrando tem singularidade no ponto final do intervalo. Vamos usar o teste de p-integral e o cálculo de antiderivada para resolver.
Passo 2
Identificamos que
é ponto de descontinuidade do integrando. Reescrevemos a integral como limite:
Perto de
temos
, e o integrando se comporta como
. Como em
o expoente
, o teste de p-integral garante convergência nesse extremo.
Passo 3
Para calcular a integral interna, determinamos a antiderivada:
Passo 4
Agora avaliamos o limite:
Logo a integral converge e seu valor é finito.
Resposta
A integral converge e vale
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