Classifique cada uma das afirmações a seguir como verdadeira ou falsa.
(a) Se f é contínua em [0,+infty) e integral1^infty f(x) d x é convergente, então integral0^infty f(x) d x é convergente.
(b) Se integrala^infty f(x) d x é convergente, então integralb^infty f(x) d x é convergente para todo b >= a.
(c) Se f é uma função contínua em decrescente em [1,+infty) e lim x +infty f(x)=0 então integral1^infty f(x) d x é convergente.
(d) Se integrala^infty f(x) d x e integrala^infty g(x) d x são ambas divergentes então integrala^infty f(x)+g(x) d x é divergente.
(e) Se integrala^infty f(x) d x e integrala^infty g(x) d x são ambas convergentes então integrala^infty f(x)+g(x) d x é convergente.
(f) Se f(x) <= g(x), forall x in R, e integrala^infty g(x) d x diverge, então integrala^infty f(x) d x também diverge.
(g) integral0^4 xx^2-1 d x=12 ln 15.
(h) Se f é contínua então integral-infty^infty f(x) d x=lim t +infty integral-t^t f(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para classificar afirmações sobre convergência de integrais impróprias. O conteúdo envolve:
  • Decomposição de integrais impróprias em partes convergentes/propriamente integráveis.
  • Propriedades de linearidade e comparação.
  • Contraexemplos (função de Riemann, 1/x, valor principal).

Passo 2

(a) Se f é contínua em [0,infty) e integral1^inftyf(x),dx converge, então
integral0^inftyf(x),dx =integral0^1f(x),dx+integral1^inftyf(x),dx
Como f é contínua em [0,1], integral0^1f(x),dx é finita. Soma de quantidades finitas é finita. Logo, (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) Se integrala^inftyf(x),dx converge, então para todo b>= a
integralb^inftyf(x),dx =limRtoinftyintegrala^Rf(x),dx-integrala^bf(x),dx
Aqui integrala^bf(x),dx é próprio (intervalo finito) e finito. A diferença de dois limites finitos é finita. Logo, (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) Contraexemplo: f(x)=1/x em [1,infty) é contínua, decrescente e limxtoinftyf(x)=0, mas
integral1^infty1x,dx =limRtoinfty[ln x]1^R =limRtoinftyln R =+infty
Logo, (c) é falsa.

Passo 5

(d) Se integral f e integral g divergem, não impede integral(f+g) de convergir. Ex.: f(x)=1/x, g(x)=-1/x têm ambas integrais divergentes, mas f+g=0 tem integral nula e convergente. Portanto, (d) é falsa.

Passo 6

(e) Se integrala^inftyf e integrala^inftyg convergem, pela linearidade
integrala^infty[f(x)+g(x)],dx =integrala^inftyf(x),dx+integrala^inftyg(x),dx
é soma de convergentes, logo converge. Assim, (e) é verdadeira.

Passo 7

(f) A comparação inversa não garante divergência de integral f. Ex.: em [1,infty) tome
f(x)=-1x^2, g(x)=1x,
então f(x)<= g(x), integral1^inftyg(x),dx diverge mas integral1^inftyf(x),dx converge ( -1). Logo, (f) é falsa.

Passo 8

(g) Formalmente
integralxx^2-1,dx =12lnl|x^2-1r|+C,
mas em [0,4] há singularidade em x=1. As integrais integral0^1 e integral1^4 são impróprias e divergem (logaritmo de zero). Portanto não se pode atribuir tfrac12ln15. A afirmação é falsa.

Passo 9

(h) A igualdade
integral-infty^inftyf(x),dx stackrel?= limttoinftyintegral-t^tf(x),dx
é o valor principal de Cauchy e não coincide, em geral, com a definição usual integral-infty^0+integral0^infty. Por exemplo f(x)=x dá limite simétrico zero mas ambas as meias-integrais divergem. Logo, (h) é falsa.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Verdadeira
(c) Falsa
(d) Falsa
(e) Verdadeira
(f) Falsa
(g) Falsa
(h) Falsa

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