Classifique cada uma das afirmações a seguir como verdadeira ou falsa.
(a) Se é contínua em e é convergente, então é convergente.
(b) Se é convergente, então é convergente para todo .
(c) Se é uma função contínua em decrescente em e então é convergente.
(d) Se e são ambas divergentes então é divergente.
(e) Se e são ambas convergentes então é convergente.
(f) Se , e diverge, então também diverge.
(g) .
(h) Se é contínua então .
Passo 1
O enunciado pede para classificar afirmações sobre convergência de integrais impróprias. O conteúdo envolve:
Decomposição de integrais impróprias em partes convergentes/propriamente integráveis.
Propriedades de linearidade e comparação.
Contraexemplos (função de Riemann, /x, valor principal).
Passo 2
(a) Se é contínua em e converge, então
Como é contínua em , é finita. Soma de quantidades finitas é finita. Logo, (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) Se converge, então para todo
Aqui é próprio (intervalo finito) e finito. A diferença de dois limites finitos é finita. Logo, (b) é verdadeira.
Passo 4
(c) Contraexemplo: em é contínua, decrescente e , mas
Logo, (c) é falsa.
Passo 5
(d) Se e divergem, não impede de convergir. Ex.: , têm ambas integrais divergentes, mas tem integral nula e convergente. Portanto, (d) é falsa.
Passo 6
(e) Se e convergem, pela linearidade
é soma de convergentes, logo converge. Assim, (e) é verdadeira.
Passo 7
(f) A comparação inversa não garante divergência de . Ex.: em tome
então , diverge mas converge (). Logo, (f) é falsa.
Passo 8
(g) Formalmente
mas em [0,4] há singularidade em x=1. As integrais integral0^1 e integral1^4 são impróprias e divergem (logaritmo de zero). Portanto não se pode atribuir tfrac12ln15. A afirmação é falsa.
é o valor principal de Cauchy e não coincide, em geral, com a definição usual integral-infty^0+integral0^infty. Por exemplo f(x)=x dá limite simétrico zero mas ambas as meias-integrais divergem. Logo, (h) é falsa.