Exercício 2.16. Determine, usando o Critério da Comparação por Limite, se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 1ln (n+1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty1ln(n+1)
é convergente ou divergente, usando o Critério da Comparação por Limite. Vamos precisar do enunciado do critério: se an e bn são sequências positivas e
L = limntoinftyanbn,
então
  • se 0<L<infty, as séries sum an e sum bn convergem ou divergem juntas;
  • se L=infty e sum bn diverge, então sum an diverge;
  • se L=0 e sum bn converge, então sum an converge.

Passo 2

Escolhemos comparar
an = 1ln(n+1)
com a série harmônica
bn = 1n+1,
cuja soma é divergente, pois
sumn=1^infty 1n+1 tem o mesmo comportamento de sumn=1^infty1n.

Passo 3

Aplicamos o critério calculando
limntoinftyanbn = limntoinfty 1ln(n+1)1n+1 = limntoinftyn+1ln(n+1)
Como ln(n+1) cresce muito mais devagar que n+1, temos
limntoinftyn+1ln(n+1) = infty

Passo 4

O limite dando L=infty e sabendo que sum bn diverge, o Critério da Comparação por Limite implica que sum an também diverge, porque para n grande fica an>bn e a série maior não pode convergir se a menor diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty1ln(n+1) diverge.

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