Exercício 2.16. Determine, usando o Critério da Comparação por Limite, se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente, usando o Critério da Comparação por Limite. Vamos precisar do enunciado do critério: se
e
são sequências positivas e
então
- se
, as séries e convergem ou divergem juntas; - se
e diverge, então diverge; - se
e converge, então converge.
Passo 2
Escolhemos comparar
com a série harmônica
cuja soma é divergente, pois
tem o mesmo comportamento de
.
Passo 3
Aplicamos o critério calculando
Como
cresce muito mais devagar que
, temos
Passo 4
O limite dando
e sabendo que
diverge, o Critério da Comparação por Limite implica que
também diverge, porque para
grande fica
e a série maior não pode convergir se a menor diverge.
Resposta
A série
diverge.