Exercício 2.16. Determine, usando o Critério da Comparação por Limite, se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de termos positivos
e pede para determinar sua convergência usando o Critério da Comparação por Limite. O conteúdo é séries de termos positivos e, em particular, o teste de comparação com uma p-série
, que sabemos convergir quando
.
Passo 2
Como
cresce mais devagar que qualquer potência de
, escolhemos como série comparadora a p-série
que converge pois
.
Passo 3
Aplicamos o Critério da Comparação por Limite, calculando
Para esse último limite, usamos que
quando
(por exemplo, via Regra de l’Hôpital), logo
Passo 4
O limite da razão é finito (
) e a série comparadora
converge. Pelo Critério da Comparação por Limite, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
é convergente.