Exercício 2.16. Determine, usando o Critério da Comparação por Limite, se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty ln (n+1)n^3

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
sumn=1^infty an com an = ln(n+1)n^3,
e pede para determinar sua convergência usando o Critério da Comparação por Limite. O conteúdo é séries de termos positivos e, em particular, o teste de comparação com uma p-série sum 1/n^p, que sabemos convergir quando p>1.

Passo 2

Como ln(n+1) cresce mais devagar que qualquer potência de n, escolhemos como série comparadora a p-série
sumn=1^infty bn com bn = 1n^2,
que converge pois p=2>1.

Passo 3

Aplicamos o Critério da Comparação por Limite, calculando
limntoinftyanbn = limntoinfty ln(n+1)n^31n^2 = limntoinftyln(n+1)n
Para esse último limite, usamos que ln(x+1)/xto0 quando xtoinfty (por exemplo, via Regra de l’Hôpital), logo
limntoinftyanbn = 0

Passo 4

O limite da razão é finito ( 0<infty) e a série comparadora sum bn converge. Pelo Critério da Comparação por Limite, concluímos que
sumn=1^infty an também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftyln(n+1)n^3 é convergente.

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