Estude a convergência de \left(a_{n}^{s}\right), onde \left(a_{n}\right) é uma sucessão tendendo para +\infty e s \geq 0 é um número racional.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Uma sucessão \left(a_{n}\right) tal que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=+\infty.
  • Um número racional s\ge 0.
    A pergunta é: estudar a convergência da sequência \left(a_{n}^{s}\right), isto é, ver se \left(a_{n}^{s}\right) converge e, em caso afirmativo, para qual valor; ou se diverge (e como diverge).

Passo 2

Vou lembrar definições e ferramentas que usarei (tudo que vem a seguir é teoria que preciso para provar o que foi pedido).
  • Definição de divergir para +\infty: dizer que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=+\infty significa que, para todo M>0, existe N tal que, para todo n\ge N, a_{n}>M.
  • Propriedade de potências positivas: se x>0 e t>0 então x^{t} é bem definida e é uma função crescente em x. Em particular, se x_1>x_2>0 então x_1^{t}>x_2^{t}.
  • Observação importante sobre domínio de potências racionais: se s=\dfrac{p}{q} com inteiros p\ge 0 e q\ge 1 (forma reduzida), a expressão a_{n}^{s}=a_{n}^{p/q}=(a_{n}^{1/q})^{p} faz sentido como número real sempre que a_{n}>0. Como a_{n}\to+\infty, existe N_0 tal que a_{n}>0 para todo n\ge N_0. Logo, para n grandes a potência racional é bem definida e comporta-se como o esperado.
  • Estratégia geral: separar o caso s=0 do caso s>0. Para s>0 usar a definição de divergência para mostrar que a_{n}^{s} também tende a +\infty.

Passo 3

Caso s=0.
  • Para todo n (exceto talvez índices pequenos), tendo a_{n}>0, vale a_{n}^{0}=1.
  • Logo a sequência \left(a_{n}^{0}\right) é eventualmente constante igual a 1 e, portanto,
\lim_{n\to\infty} a_{n}^{0}=1.
  • Conclusão do caso s=0: a sequência converge e o limite é 1.

Passo 4

Caso s>0. Vou provar que \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=+\infty.
  • Começo com a definição de limite infinito: seja B>0 um número arbitrário (qualquer grandeza que queiramos alcançar para mostrar que os termos ficam maiores que B). Queremos encontrar N tal que, para todo n\ge N, a_{n}^{s}>B.
  • Como s>0, o número B^{1/s} existe e é positivo. (Se s for racional p/q, isso equivale a tomar B^{1/s}=B^{q/p}, que é um número positivo bem definido.)
  • Como \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}=+\infty, aplicando a definição existe N tal que, para todo n\ge N,
a_{n}>B^{1/s}.
  • Aplicando a função potência x\mapsto x^{s} (que é crescente para x>0 quando s>0), obtemos para todo n\ge N:
a_{n}^{s}>\bigl(B^{1/s}\bigr)^{s}=B.
  • Como B>0 era arbitrário, isso mostra que, para qualquer valor grande B, os termos a_{n}^{s} ficam maiores que B para n suficientemente grande; por definição, isto é
\lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=+\infty.

Passo 5

Observações complementares e exemplos para fixar:
  • Motivação intuitiva: se a_{n} cresce sem limite, então elevar a uma potência positiva s (mesmo fracionária, como \tfrac12 ou \tfrac{3}{4}) ainda dá uma sequência que cresce sem limite, porque raízes e potências positivas não “capam” o crescimento para infinito — apenas alteram a velocidade.
  • Exemplo concreto: se a_{n}=n e s=\tfrac12, então a_{n}^{s}=\sqrt{n} e \sqrt{n}\to+\infty. Prova pelo mesmo argumento: para dado B tomar N tal que n>B^{2}.
  • Observação sobre domínio: em todas as provas usei que a_{n}>0 para n grande. Isso é garantido por a_{n}\to+\infty. Se por acaso a sucessão tivesse sinais alternados e não fosse eventualmente positiva, não poderíamos sempre definir potências racionais com denominador par; mas esse problema não ocorre aqui porque a_{n}\to+\infty implica positividade eventual.

Resposta

Se s=0 então \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=1.
Se s>0 então \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=+\infty.

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