Estude a convergência de
, onde
é uma sucessão tendendo para
e
é um número racional.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- Uma sucessão
tal que . - Um número racional
.
A pergunta é: estudar a convergência da sequência, isto é, ver se converge e, em caso afirmativo, para qual valor; ou se diverge (e como diverge).
Passo 2
Vou lembrar definições e ferramentas que usarei (tudo que vem a seguir é teoria que preciso para provar o que foi pedido).
- Definição de divergir para
: dizer que significa que, para todo , existe tal que, para todo , . - Propriedade de potências positivas: se
e então é bem definida e é uma função crescente em . Em particular, se então . - Observação importante sobre domínio de potências racionais: se
com inteiros e (forma reduzida), a expressão faz sentido como número real sempre que . Como , existe tal que para todo . Logo, para grandes a potência racional é bem definida e comporta-se como o esperado. - Estratégia geral: separar o caso
do caso . Para usar a definição de divergência para mostrar que também tende a .
Passo 3
Caso
.
- Para todo
(exceto talvez índices pequenos), tendo , vale . - Logo a sequência
é eventualmente constante igual a e, portanto,
- Conclusão do caso
: a sequência converge e o limite é .
Passo 4
Caso
. Vou provar que
.
- Começo com a definição de limite infinito: seja
um número arbitrário (qualquer grandeza que queiramos alcançar para mostrar que os termos ficam maiores que ). Queremos encontrar tal que, para todo , . - Como
, o número existe e é positivo. (Se for racional , isso equivale a tomar , que é um número positivo bem definido.) - Como
, aplicando a definição existe tal que, para todo ,
- Aplicando a função potência
(que é crescente para quando ), obtemos para todo :
- Como
era arbitrário, isso mostra que, para qualquer valor grande , os termos ficam maiores que para suficientemente grande; por definição, isto é
Passo 5
Observações complementares e exemplos para fixar:
- Motivação intuitiva: se
cresce sem limite, então elevar a uma potência positiva (mesmo fracionária, como ou ) ainda dá uma sequência que cresce sem limite, porque raízes e potências positivas não “capam” o crescimento para infinito — apenas alteram a velocidade. - Exemplo concreto: se
e , então e . Prova pelo mesmo argumento: para dado tomar tal que . - Observação sobre domínio: em todas as provas usei que
para grande. Isso é garantido por . Se por acaso a sucessão tivesse sinais alternados e não fosse eventualmente positiva, não poderíamos sempre definir potências racionais com denominador par; mas esse problema não ocorre aqui porque implica positividade eventual.
Resposta
Se
então
Se então
Se