Se \left(a_{n}\right) é uma sucessão de termos não-negativos convergindo para r \geq 0, e se s é um número racional positivo, mostre que \lim a_{n}^{s}=r^{s}. Discuta os casos de s negativo, e de s nulo.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: uma sucessão \left(a_{n}\right) com a_{n}\ge 0 para todo n e \lim_{n\to\infty} a_{n}=r, com r\ge 0.
  • Dado: um número racional s. Primeiro considerar s>0. Depois discutir s<0 e s=0.
  • Pedido: mostrar que \lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=r^{s} quando s é racional positivo; discutir os casos s negativo e s nulo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A sequência tem termos não-negativos, então a_{n}^{s} faz sentido para s>0 quando tomamos raízes e potências; para s\le 0 é preciso cuidar de eventuais zeros.
  • s é racional, logo pode escrever-se na forma s=\dfrac{p}{q} com p\in\mathbb{Z}, q\in\mathbb{N} (no caso s>0, p,q positivos).

Passo 2

Estratégia e notação para o caso s>0. Decomposição do expoente racional.
  • Escreve-se s=\dfrac{p}{q} em termos inteiros, com p,q\in\mathbb{N}.
  • Então a_{n}^{s}=\bigl(a_{n}^{1/q}\bigr)^{p}. Logo basta provar primeiro que \lim_{n\to\infty} a_{n}^{1/q}=r^{1/q},porque uma vez isto tiver sido mostrado, aplicar a função contínua x\mapsto x^{p} (potência inteira) dá \lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{n}^{1/q}\bigr)^{p}=\bigl(r^{1/q}\bigr)^{p}=r^{s}.
  • Portanto o núcleo da prova é mostrar a convergência das raízes a_{n}^{1/q}\to r^{1/q}.

Passo 3

Prova do caso r>0: mostrar que \lim_{n\to\infty} a_{n}^{1/q}=r^{1/q} usando fatorização e um argumento \varepsilon- N.
  • Denote b_{n}:=a_{n}^{1/q} e b:=r^{1/q}. Então b_{n}^{q}=a_{n} e b^{q}=r.
  • Observe a identidade fatorada b_{n}^{q}-b^{q}=(b_{n}-b)\bigl(b_{n}^{\,q-1}+b_{n}^{\,q-2}b+\cdots+b^{\,q-1}\bigr).Assim, escrevendo S_{n}:=b_{n}^{\,q-1}+b_{n}^{\,q-2}b+\cdots+b^{\,q-1}, tem-se |b_{n}-b|=\frac{|b_{n}^{q}-b^{q}|}{S_{n}}=\frac{|a_{n}-r|}{S_{n}}.
  • Como r>0 e a_{n}\to r, existe N_{1} tal que para todo n\ge N_{1} vale |a_{n}-r|<\dfrac{r}{2}. Isso implica a_{n}>\dfrac{r}{2} para n\ge N_{1}, e portanto b_{n}=a_{n}^{1/q}>\Bigl(\frac{r}{2}\Bigr)^{1/q}>0.Logo para n\ge N_{1} temos \min(b_{n},b)\ge c, com c:=\min\bigl(b,(r/2)^{1/q}\bigr)>0.
  • Então, para n\ge N_{1}, S_{n}=b_{n}^{\,q-1}+b_{n}^{\,q-2}b+\cdots+b^{\,q-1}\ge q\cdot c^{\,q-1}.Consequentemente |b_{n}-b|\le \frac{|a_{n}-r|}{q c^{\,q-1}}.
  • Agora dê um \varepsilon>0. Escolha N tal que para n\ge N tenha |a_{n}-r|<\varepsilon\; q\; c^{\,q-1} (isso é possível porque a_{n}\to r). Então para n\ge\max\{N,N_{1}\} obtemos |b_{n}-b|<\varepsilon.Isso prova que b_{n}\to b, ou seja, \lim_{n\to\infty} a_{n}^{1/q}=r^{1/q}.

Passo 4

Conclusão para s>0 a partir do passo anterior.
  • Já que \lim a_{n}^{1/q}=r^{1/q} e a função x\mapsto x^{p} (com p\in\mathbb{N}) é contínua em [0,\infty), aplica-se continuidade por composição para obter \lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=\lim_{n\to\infty}\bigl(a_{n}^{1/q}\bigr)^{p}=\bigl(r^{1/q}\bigr)^{p}=r^{s}.
  • Portanto para qualquer s>0 racional tem-se \lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=r^{s}. (No caso r=0 trataremos no passo seguinte.)

Passo 5

Caso r=0 com s>0: prova direta e simples.
  • Suponha r=0 e s>0. Seja \varepsilon>0. Como a_{n}\to 0, existe N tal que, para n\ge N, a_{n}<\varepsilon^{1/s}. Então, para n\ge N, 0\le a_{n}^{s}<\bigl(\varepsilon^{1/s}\bigr)^{s}=\varepsilon.
  • Logo a_{n}^{s}\to 0, ou seja \lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=0=r^{s}. Assim o resultado também vale para r=0.

Passo 6

Resumo do caso s>0.
  • Para qualquer s>0 racional, escrevendo s=p/q, provou-se que \lim a_{n}^{s}=r^{s}. A prova cobriu tanto r>0 (fatorização + estimativa) quanto r=0 (prova direta).

Passo 7

Discussão do caso s=0.
  • Por convenção, para a>0 define-se a^{0}=1. Se a sequência satisfaz a_{n}>0 para todo n (ou pelo menos para todo n suficientemente grande), então a_{n}^{0}=1 eventualmente e \lim_{n\to\infty} a_{n}^{0}=1.Se além disso r>0, então r^{0}=1 e portanto \lim a_{n}^{0}=r^{0}.
  • Se a sequência assume o valor 0 em infinidadade de índices, então 0^{0} é indeterminado e a expressão a_{n}^{0} não está bem definida nesses índices: não há uma resposta canônica. Logo é preciso decidir uma convenção; sem convenção não se pode falar de limite.
  • Em particular, quando r=0 não se pode afirmar que r^{0}=1 sem adotar uma convenção sobre 0^{0} (na maioria dos contextos de limites se evita tomar 0^{0} como um valor definido).

Passo 8

Discussão do caso s<0.
  • Escreva s=-t com t>0 racional. Então a_{n}^{s}=a_{n}^{-t}=1/a_{n}^{t} sempre que a_{n}^{t} seja definido e não nulo (isto é, quando a_{n}>0).
  • Se r>0 e a_{n}>0 para todo n suficientemente grande, então pelo já provado \lim a_{n}^{t}=r^{t}>0. A regra do limite para recíprocos (se x_{n}\to x\neq 0 então 1/x_{n}\to 1/x) dá \lim_{n\to\infty} a_{n}^{s}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n}^{t}}=\frac{1}{r^{t}}=r^{s}.
  • Se r=0 (ou seja a_{n}\to 0), então a_{n}^{t}\to 0 e, desde que a_{n}>0 para n grandes, os recíprocos 1/a_{n}^{t}=a_{n}^{s} tendem para +\infty. Logo não existe limite finito; em resposta breve: \lim a_{n}^{s}=+\infty (diverge para +\infty). Se a sequência toma o valor 0 para algum n então a_{n}^{s} está mal definida nesses índices (divisão por zero).
  • Em resumo: para s<0 racional, se r>0 e a sequência é eventualmente positiva tem-se \lim a_{n}^{s}=r^{s}; se r=0 a sequência a_{n}^{s} diverge para +\infty (ou é indefinida se alguns termos são zero).

Resposta

\displaystyle \text{Se }s>0\text{ (racional), então }\lim_{n\to\infty}a_{n}^{s}=r^{s}.ã
\displaystyle \text{Se }s=0\text{, então }a_{n}^{0}=1\text{ para }a_{n}>0\text{ e, se }a_{n}>0\text{ eventualmen te, }\lim a_{n}^{0}=1\\ (\text{com }r>0\Rightarrow r^{0}=1).ã
\displaystyle \text{Se }s<0\text{ (escrevendo }s=-t,\\ t>0\text{) e }r>0\text{ (e }a_{n}>0\text{ eventual}),\\ \lim a_{n}^{s}=r^{s}.\text{ Se }r=0\text{ então }a_{n}^{s}\to+\infty\\ (\text{ou é indefinida se há termos }a_{n}=0).ãéá

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