Se
é uma sucessão de termos não-negativos convergindo para
, e se
é um número racional positivo, mostre que
. Discuta os casos de
negativo, e de
nulo.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: uma sucessão
com para todo e , com . - Dado: um número racional
. Primeiro considerar . Depois discutir e . - Pedido: mostrar que
quando é racional positivo; discutir os casos negativo e nulo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A sequência tem termos não-negativos, então
faz sentido para quando tomamos raízes e potências; para é preciso cuidar de eventuais zeros. -
é racional, logo pode escrever-se na forma com , (no caso , positivos).
Passo 2
Estratégia e notação para o caso
. Decomposição do expoente racional.
- Escreve-se
em termos inteiros, com . - Então
. Logo basta provar primeiro que porque uma vez isto tiver sido mostrado, aplicar a função contínua (potência inteira) dá - Portanto o núcleo da prova é mostrar a convergência das raízes
.
Passo 3
Prova do caso
: mostrar que
usando fatorização e um argumento
-
.
- Denote
e . Então e . - Observe a identidade fatorada
Assim, escrevendo , tem-se - Como
e , existe tal que para todo vale . Isso implica para , e portanto Logo para temos , com . - Então, para
, Consequentemente - Agora dê um
. Escolha tal que para tenha (isso é possível porque ). Então para obtemos Isso prova que , ou seja,
Passo 4
Conclusão para
a partir do passo anterior.
- Já que
e a função (com ) é contínua em , aplica-se continuidade por composição para obter - Portanto para qualquer
racional tem-se . (No caso trataremos no passo seguinte.)
Passo 5
Caso
com
: prova direta e simples.
- Suponha
e . Seja . Como , existe tal que, para , . Então, para , - Logo
, ou seja . Assim o resultado também vale para .
Passo 6
Resumo do caso
.
- Para qualquer
racional, escrevendo , provou-se que . A prova cobriu tanto (fatorização + estimativa) quanto (prova direta).
Passo 7
Discussão do caso
.
- Por convenção, para
define-se . Se a sequência satisfaz para todo (ou pelo menos para todo suficientemente grande), então eventualmente e Se além disso , então e portanto . - Se a sequência assume o valor
em infinidadade de índices, então é indeterminado e a expressão não está bem definida nesses índices: não há uma resposta canônica. Logo é preciso decidir uma convenção; sem convenção não se pode falar de limite. - Em particular, quando
não se pode afirmar que sem adotar uma convenção sobre (na maioria dos contextos de limites se evita tomar como um valor definido).
Passo 8
Discussão do caso
.
- Escreva
com racional. Então sempre que seja definido e não nulo (isto é, quando ). - Se
e para todo suficientemente grande, então pelo já provado . A regra do limite para recíprocos (se então ) dá - Se
(ou seja ), então e, desde que para grandes, os recíprocos tendem para . Logo não existe limite finito; em resposta breve: (diverge para ). Se a sequência toma o valor para algum então está mal definida nesses índices (divisão por zero). - Em resumo: para
racional, se e a sequência é eventualmente positiva tem-se ; se a sequência diverge para (ou é indefinida se alguns termos são zero).