Se \left(a_{n}\right) é uma sucessão de termos positivos convergindo para r>0, e q é um número inteiro positivo, mostre que \lim a_{n}^{1 / q}=r^{1 / q}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Há uma sucessão \left(a_{n}\right) de termos positivos, ou seja a_{n}>0 para todo n.
  • Sabe-se que \lim_{n\to\infty} a_{n}=r com r>0.
  • q é um inteiro positivo.
O que é pedido:
  • Mostrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}^{1/q}=r^{1/q}.

Passo 2

Ideia de resolução (sem enunciar teoremas abstratos): usar a fatoração da diferença de potências para escrever a diferença a_{n}^{1/q}-r^{1/q} em função de a_{n}-r. Assim conseguimos relacionar diretamente a convergência de a_n à convergência da sua raiz q-ésima. Vou seguir esse caminho porque é elementar e dá um controle numérico explícito da diferença.

Passo 3

Lembra da identidade algébrica básica (para quaisquer u,v e inteiro q\ge1):
u^{q}-v^{q}=(u-v)\sum_{j=0}^{q-1}u^{q-1-j}v^{j}.
Aplicando essa identidade com u=a_{n}^{1/q} e v=r^{1/q} obtemos (pois u^{q}=a_n e v^{q}=r):
a_{n}-r=\bigl(a_{n}^{1/q}-r^{1/q}\bigr)\sum_{j=0}^{q-1}a_{n}^{(q-1-j)/q}\,r^{j/q}.
Rearranjando:
a_{n}^{1/q}-r^{1/q}=\frac{a_{n}-r}{\displaystyle \sum_{j=0}^{q-1}a_{n}^{(q-1-j)/q}\,r^{j/q}}.

Passo 4

Tomando valor absoluto na expressão acima:
\left|a_{n}^{1/q}-r^{1/q}\right| =\frac{|a_{n}-r|}{\displaystyle \sum_{j=0}^{q-1}a_{n}^{(q-1-j)/q}\,r^{j/q}}.
Para concluir que o membro à esquerda tende a 0 quando n\to\infty, precisamos apenas mostrar que o denominador fica uniformemente afastado de 0 para n grande.

Passo 5

Como a_{n}\to r e r>0, existe N tal que, para todo n\ge N,
\frac{r}{2}<a_{n}<\frac{3r}{2}.
(Isto vem da definição de limite: escolhe-se, por exemplo, \delta=r/2 e obtém-se N tal que |a_n-r|<r/2 para n\ge N.)
Para esses n\ge N, cada termo do somatório no denominador satisfaz
a_{n}^{(q-1-j)/q}\,r^{j/q}\ge\left(\frac{r}{2}\right)^{(q-1-j)/q}\,r^{j/q} =\left(\frac{r}{2}\right)^{(q-1)/q}\,r^{0} =\left(\frac{r}{2}\right)^{(q-1)/q}.
Portanto o somatório, que tem q termos, satisfaz
\sum_{j=0}^{q-1}a_{n}^{(q-1-j)/q}\,r^{j/q}\ge q\left(\frac{r}{2}\right)^{(q-1)/q}>0
para todo n\ge N. Assim o denominador está limitado inferiormente por uma constante positiva quando n é grande.

Passo 6

Usando essa desigualdade no passo anterior obtemos, para n\ge N,
\left|a_{n}^{1/q}-r^{1/q}\right| \le \frac{|a_{n}-r|}{\,q\left(\dfrac{r}{2}\right)^{(q-1)/q}\, }.
Como |a_{n}-r|\to0 quando n\to\infty, o lado direito também tende a 0. Logo \left|a_{n}^{1/q}-r^{1/q}\right|\to0, isto é a_{n}^{1/q}\to r^{1/q}.
Se preferir uma versão \varepsilon- N: dado \varepsilon>0, escolha N tal que |a_n-r|<q\left(\dfrac{r}{2}\right)^{(q-1)/q}\varepsilon para todo n\ge N (isso é possível porque a_n\to r). Então para esses n vale |a_n^{1/q}-r^{1/q}|<\varepsilon. Isso prova formalmente o limite.

Passo 7

Concluímos que a raiz q-ésima preserva o limite quando os termos são positivos e o limite r é positivo. A hipótese r>0 (e a_n>0) foi usada para garantir que o denominador nunca se anula e que podemos obter uma menor cota positiva.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}^{1/q}=r^{1/q}

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