Estude a convergência pontual da sucessão de termo geral:
fn(x)=n(x-1)n^3 x^2+1
[-1,1]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definida por:
fn(x) = n(x - 1)n^3 x^2 + 1
E precisamos analisar a convergência pontual dessa sequência no intervalo [-1, 1]. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é convergência pontual e como calcular o limite de uma sequência de funções para cada ponto fixo x nesse intervalo.

Passo 2

A convergência pontual significa que, para cada valor fixo de x no intervalo [-1, 1], a sequência fn(x) tende a um limite quando n tende ao infinito. Ou seja, vamos calcular:
limn to infty fn(x)

Passo 3

Vamos analisar a expressão de fn(x):
fn(x) = n(x - 1)n^3 x^2 + 1
Podemos simplificar essa expressão dividindo o numerador e o denominador por n^3:
fn(x) = n(x - 1)n^3 x^2 + 1 = n(x - 1)n^3n^3 x^2 + 1n^3 = (x - 1)n^2x^2 + 1n^3

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
  • No numerador: (x - 1)n^2 to 0 porque n^2 cresce sem limite.
  • No denominador: x^2 + 1n^3 to x^2 porque 1n^3 to 0.
Portanto, temos:
limn to infty fn(x) = 0x^2 = 0

Passo 5

Conclusão: Para todo x in [-1, 1], a sequência fn(x) converge pontualmente para 0.

Resposta

A sequência de funções converge pontualmente para a função constante zero no intervalo [-1, 1].

Exercícios relacionados