Estude a convergência (a) pontual, (b) uniforme, da sucessão de termo geral:
fn(x)=(2^n+3^n) arcsen x5^n, no intervalo: [-1,1]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definida por:
fn(x) = (2^n + 3^n), arcsen, x5^n
Nosso objetivo é estudar a convergência dessa sequência de funções em dois sentidos:
a) Convergência pontual: Verificar se, para cada x no intervalo [-1, 1], a sequência fn(x) converge para algum limite quando n cresce.
b) Convergência uniforme: Verificar se a convergência acontece de maneira uniforme para todos os x no intervalo [-1, 1], ou seja, o limite é o mesmo independentemente de qual x escolhemos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências de funções e como aplicar critérios de convergência pontual e uniforme. Também vamos usar propriedades de funções exponenciais e da função arco-seno.

Passo 2

Vamos começar analisando a convergência pontual. Para isso, fixamos um valor de x no intervalo [-1, 1] e analisamos o limite de fn(x) quando n tende ao infinito.
Primeiro, observemos a expressão de fn(x) :
fn(x) = (2^n + 3^n), arcsen, x5^n
Podemos reescrever essa expressão dividindo cada termo do numerador por 5^n :
fn(x) = arcsen, x ( 2^n5^n + 3^n5^n )
Simplificando as frações:
fn(x) = arcsen, x ( (25)^n + (35)^n )
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme n tende ao infinito.

Passo 3

Vamos observar os termos (25)^n e (35)^n :
  • Como 25 < 1 e 35 < 1 , sabemos que qualquer número menor que 1 elevado a uma potência que tende ao infinito vai se aproximar de 0.
Portanto:
limn to infty (25)^n = 0
limn to infty (35)^n = 0
Assim, o limite de fn(x) para um x fixo é:
limn to infty fn(x) = arcsen, x times (0 + 0) = 0
Então, para qualquer x em [-1, 1], fn(x) converge para 0 quando n tende ao infinito. Isso mostra que a sequência de funções converge pontualmente para a função nula.

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência uniforme. Para isso, precisamos checar se a diferença entre fn(x) e o limite (que é 0) pode ser tornada menor que qualquer epsilon > 0 de forma independente de x .
A diferença é simplesmente |fn(x)| , já que o limite é 0:
|fn(x)| = | (2^n + 3^n), arcsen, x5^n |
Como arcsen, x está definido para x in [-1, 1] , sabemos que |arcsen, x| <= pi2 . Então:
|fn(x)| <= (2^n + 3^n), pi25^n = pi2 ( (25)^n + (35)^n )
Sabemos que (25)^n e (35)^n tendem a 0 conforme n cresce. Além disso, como essas expressões são independentes de x , a convergência para 0 é uniforme em todo o intervalo [-1, 1].
Portanto, a sequência fn(x) converge uniformemente para 0 no intervalo considerado.

Resposta

A sequência de funções fn(x) = (2^n + 3^n), arcsen, x5^n converge pontualmente para 0 em cada x no intervalo [-1, 1] e essa convergência é uniforme em todo o intervalo.

Exercícios relacionados