Estude a convergência (a) pontual, (b) uniforme, da sucessão de termo geral: , no intervalo:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de funções definida por:
Nosso objetivo é estudar a convergência dessa sequência de funções em dois sentidos:
a) Convergência pontual: Verificar se, para cada no intervalo , a sequência converge para algum limite quando cresce.
b) Convergência uniforme: Verificar se a convergência acontece de maneira uniforme para todos os no intervalo , ou seja, o limite é o mesmo independentemente de qual escolhemos.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites de sequências de funções e como aplicar critérios de convergência pontual e uniforme. Também vamos usar propriedades de funções exponenciais e da função arco-seno.
Passo 2
Vamos começar analisando a convergência pontual. Para isso, fixamos um valor de no intervalo e analisamos o limite de quando tende ao infinito.
Primeiro, observemos a expressão de :
Podemos reescrever essa expressão dividindo cada termo do numerador por :
Simplificando as frações:
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo conforme tende ao infinito.
Passo 3
Vamos observar os termos e :
Como e , sabemos que qualquer número menor que 1 elevado a uma potência que tende ao infinito vai se aproximar de 0.
Portanto:
Assim, o limite de para um fixo é:
Então, para qualquer em , converge para 0 quando tende ao infinito. Isso mostra que a sequência de funções converge pontualmente para a função nula.
Passo 4
Agora, vamos verificar a convergência uniforme. Para isso, precisamos checar se a diferença entre e o limite (que é 0) pode ser tornada menor que qualquer de forma independente de .
A diferença é simplesmente , já que o limite é 0:
Como arcsen, x está definido para x in [-1, 1] , sabemos que |arcsen, x| <= pi2 . Então:
Sabemos que (25)^n e (35)^n tendem a 0 conforme n cresce. Além disso, como essas expressões são independentes de x , a convergência para 0 é uniforme em todo o intervalo [-1, 1].
Portanto, a sequência fn(x) converge uniformemente para 0 no intervalo considerado.
Resposta
A sequência de funções fn(x) = (2^n + 3^n), arcsen, x5^n converge pontualmente para 0 em cada x no intervalo [-1, 1] e essa convergência é uniforme em todo o intervalo.