Estude a convergência uniforme da sucessão de termo geral:
fn(x)=n(x-1)n^3 x^2+1
[1,2]

Passo 1

O enunciado dá a sequência de funções
fn(x)=n(x-1)n^3x^2+1,
definida em [1,2], e pede para estudar a convergência uniforme. Vamos identificar primeiro a função limite e depois verificar se
supxin[1,2]|fn(x)-f(x)|to0.

Passo 2

Para cada xin[1,2] fixo, note que
n^3x^2+1>= n^3x^2>= n^3cdot1^2=n^3,
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0<= fn(x)=n(x-1)n^3x^2+1 <=n(x-1)n^3 <=ncdot1n^3 =1n^2
Isso mostra imediatamente que, para todo x,
limntoinftyfn(x)=0. Portanto a função limite é
f(x)=0

Passo 3

Para a convergência ser uniforme em [1,2] precisamos de
limntoinftysupxin[1,2]|fn(x)-0| =limntoinftysupxin[1,2]fn(x) =0
Pelo passo anterior temos
0<=supxin[1,2]fn(x)<=1n^2,
e como 1n^2to0, conclui-se que
supxin[1,2]|fn(x)|to0.

Resposta

A sucessão fn converge uniformemente para f(x)=0 em [1,2].

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