Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
sumn=1^infty 5^n^2(n!)^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série de termos positivos sumn=1^infty 5^n^2(n!)^2. Precisamos determinar se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Como todos os termos an = 5^n^2(n!)^2 são positivos, convergência absoluta e simples são a mesma coisa. Se não convergir, é divergente; não há convergência condicional.

Passo 2

Aplicamos o critério da razão. Calculamos limntoinfty an+1an:
an+1an= 5^(n+1)^2((n+1)!)^2 cdot (n!)^25^n^2= 5^n^2 + 2n + 15^n^2 cdot 1(n+1)^2= 5^2n+11(n+1)^2= 5,25^n(n+1)^2
Para n grande, 25^n cresce muito mais rápido que (n+1)^2, logo
an+1an to +infty > 1

Passo 3

Pelo critério da razão, se o limite é maior que 1, a série diverge. Portanto não há soma finita.

Resposta

A série diverge.

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