Suppose that f(z) is analytic on a region A that contains the disk |z-z0| <= r. Use Cauchys integral formula to prove the mean value property
f(z0)=12 pi integral0^2 pi f(z0+r e^i theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede para provar, via fórmula integral de Cauchy, que se f é analítica em uma região que contém o disco lvert z - z0rvert <= r, então f(z0) é igual à média de f ao longo do círculo de raio r centrado em z0. O conteúdo é Análise Complexa, usando a fórmula integral de Cauchy.

Passo 2

Como f é analítica em lvert z - z0rvert <= r, a fórmula integral de Cauchy garante que para todo z0 interno ao contorno lvert z - z0rvert = r vale
f(z0)=12pi ioint|z-z0|=rf(z)z-z0,dz

Passo 3

Agora parametrizamos o círculo por z=z0+r e^itheta, com theta variando de 0 a 2pi. Nesse caso
dz = i r e^itheta,dtheta e z - z0 = r e^itheta

Passo 4

Substituindo na integral de Cauchy temos:
f(z0)=12pi iintegral0^2pif(z0+r e^itheta)r e^ithetacdot i r e^itheta,dtheta =12piintegral0^2pif(z0+r e^itheta),dtheta

Passo 5

Isso mostra exatamente a propriedade do valor médio: f(z0) é a média de f sobre o círculo de raio r.

Resposta

f(z0)=12piintegral0^2pif(z0+r e^itheta),dtheta.

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