Suppose that
is analytic on a region
that contains the disk
. Use Cauchys integral formula to prove the mean value property
Passo 1
O enunciado pede para provar, via fórmula integral de Cauchy, que se
é analítica em uma região que contém o disco
, então
é igual à média de
ao longo do círculo de raio
centrado em
. O conteúdo é Análise Complexa, usando a fórmula integral de Cauchy.
Passo 2
Como
é analítica em
, a fórmula integral de Cauchy garante que para todo
interno ao contorno
vale
Passo 3
Agora parametrizamos o círculo por
, com
variando de
a
. Nesse caso
Passo 4
Substituindo na integral de Cauchy temos:
Passo 5
Isso mostra exatamente a propriedade do valor médio:
é a média de
sobre o círculo de raio
.