Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
sumk=1^infty (2)^k cos (3 k)3^k

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumk=1^infty 2^kcos(3k)3^k, identificando se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge, e, se possível, calcular sua soma. O conteúdo principal aqui é séries de termos reais e o método de usar séries geométricas complexas para obter a soma.

Passo 2

Primeiro vamos testar convergência absoluta. Note que
|2^kcos(3k)3^k| = (23)^k,|cos(3k)| <= (23)^k
Como sumk=1^infty (2/3)^k é uma série geométrica convergente (razão 2/3<1), pelo teste da comparação a nossa série converge absolutamente. Logo ela converge.

Passo 3

Para achar a soma, vamos usar que
sumk=1^infty r^kcos(ktheta) = Resumk=1^infty l(r e^ithetar)^k = Rer e^itheta1 - r e^itheta
Aqui temos r=2/3 e theta=3. Então
S = sumk=1^infty l(tfrac23r)^kcos(3k) = Re(2/3)e^i31 - (2/3)e^i3

Passo 4

Basta agora usar a forma real dessa fração. A expressão padrão é
sumk=1^infty r^kcos(ktheta) = r(costheta - r)1 - 2rcostheta + r^2
Substituindo r=2/3 e theta=3 obtemos
S = (2/3)(cos3 - 2/3)1 - 2cdot(2/3)cos3 + (2/3)^2 = 6cos3 - 413 -12cos3

Passo 5

Portanto, a série converge absolutamente e seu valor soma é 6cos3 - 413 -12cos3.

Resposta

Converge absolutamente e sumk=1^infty2^kcos(3k)3^k=6cos3 - 413 -12cos3.

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