Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
sumk=1^infty (-1)^k k^3k^5+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série alternante sumk=1^infty(-1)^kk^3k^5+1, decidindo se ela converge condicionalmente, absolutamente ou diverge, e, se possível, dando o valor da soma.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
sumk=1^inftygl|(-1)^kk^3k^5+1gr| = sumk=1^inftyk^3k^5+1
Note que, para todo k>=1, temos k^5+1>= k^5, logo
0<= k^3k^5+1 <= k^3k^5 = 1k^2
Como a série p-séria sum1/k^2 converge (pois 2>1), pelo Critério da Comparação temos que
sumk=1^inftyk^3k^5+1
converge. Assim a série original é absolutamente convergente.

Passo 3

Uma vez que a série converge absolutamente, ela convergirá também (em valor finito). Não existe expressão fechada simples conhecida para a soma exata dessa série, mas fica garantido que ela é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente (e portanto convergente). Não há forma fechada simples para o valor da soma.

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