Estude a convergência (se possível diga o valor da soma), convergência condicional, convergência absoluta ou divergência das séries
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série alternante , decidindo se ela converge condicionalmente, absolutamente ou diverge, e, se possível, dando o valor da soma.
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, consideramos a série dos valores absolutos:
Note que, para todo k>=1, temos k^5+1>= k^5, logo
0<= k^3k^5+1 <= k^3k^5 = 1k^2
Como a série p-séria sum1/k^2 converge (pois 2>1), pelo Critério da Comparação temos que
sumk=1^inftyk^3k^5+1
converge. Assim a série original é absolutamente convergente.
Passo 3
Uma vez que a série converge absolutamente, ela convergirá também (em valor finito). Não existe expressão fechada simples conhecida para a soma exata dessa série, mas fica garantido que ela é absolutamente convergente.
Resposta
A série é absolutamente convergente (e portanto convergente). Não há forma fechada simples para o valor da soma.