Mostre que a relação definida entre sequências de Cauchy de números racionais dadas por
é uma relação de equivalência.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem duas sequências de números racionais, chamadas de sequências de Cauchy, e queremos mostrar que uma certa relação entre elas é uma relação de equivalência. A matéria que vamos usar aqui é sobre relações de equivalência e sequences de Cauchy. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma relação ser reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
Primeiro, reflexividade. Isso significa que qualquer sequência está relacionada consigo mesma. Vamos ver:
Para uma sequência
, queremos mostrar que
.
Calculando o limite:
Como a diferença tende a zero, a relação é reflexiva.
Passo 3
Agora, simetria. Se
, então
.
Sabemos que:
Então:
Portanto, se uma sequência está relacionada com a outra, a segunda está relacionada com a primeira. A relação é simétrica.
Passo 4
Por último, transitividade. Se
e
, então
.
Sabemos que:
Então, somando as duas:
Assim,
. A relação é transitiva.
Resposta
Como a relação é reflexiva, simétrica e transitiva, ela é uma relação de equivalência.