Mostre que a relação definida entre sequências de Cauchy de números racionais dadas por
(pn)n in N sim(qn)n in N Leftrightarrow lim n infty pn-qn=0
é uma relação de equivalência.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem duas sequências de números racionais, chamadas de sequências de Cauchy, e queremos mostrar que uma certa relação entre elas é uma relação de equivalência. A matéria que vamos usar aqui é sobre relações de equivalência e sequences de Cauchy. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma relação ser reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Primeiro, reflexividade. Isso significa que qualquer sequência está relacionada consigo mesma. Vamos ver:
Para uma sequência (pn), queremos mostrar que (pn) sim (pn).
Calculando o limite:
lim n infty pn - pn = lim n infty 0 = 0
Como a diferença tende a zero, a relação é reflexiva.

Passo 3

Agora, simetria. Se (pn) sim (qn), então (qn) sim (pn).
Sabemos que:
lim n infty pn - qn = 0
Então:
lim n infty qn - pn = lim n infty -(pn - qn) = -0 = 0
Portanto, se uma sequência está relacionada com a outra, a segunda está relacionada com a primeira. A relação é simétrica.

Passo 4

Por último, transitividade. Se (pn) sim (qn) e (qn) sim (rn), então (pn) sim (rn).
Sabemos que:
lim n infty pn - qn = 0 e lim n infty qn - rn = 0
Então, somando as duas:
lim n infty (pn - qn) + (qn - rn) = lim n infty pn - rn = 0
Assim, (pn) sim (rn). A relação é transitiva.

Resposta

Como a relação é reflexiva, simétrica e transitiva, ela é uma relação de equivalência.

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