Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
integral-infty^0 e^t sen(2 t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre integrais impróprias. Especificamente, precisamos estudar se a integral integral-infty^0 e^t sin(2t) , dt converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e como calcular integrais que vão até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Uma integral imprópria ocorre quando os limites de integração envolvem infinito ou quando a função tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é -infty, então temos que ver se a integral converge quando $ t $ tende a t .

Passo 3

Para analisar a convergência, vamos reescrever a integral de forma que facilite o cálculo. Vamos definir um limite $ a $ que tende a a e reescrever a integral como:
-infty
Agora, precisamos calcular essa integral definida e depois avaliar o limite.

Passo 4

Vamos calcular a integral de $ e^{t} \sin(2t) , dt $. Para isso, usamos uma técnica chamada integração por partes, mas aqui vamos utilizar uma fórmula padrão para integrais do tipo $ \int e^{at} \sin(bt) , dt $, que é:
e^t sin(2t) , dt
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 2 $, então substituindo na fórmula:
integral e^at sin(bt) , dt

Passo 5

Agora que temos a antiderivada, vamos avaliar a integral definida de $ a $ a $ 0 $:
a
Simplificando:
0

Passo 6

Agora, vamos analisar o limite quando $ a \to -\infty $:
a to -infty
Sabemos que $ e^{a} $ tende a $ 0 $ quando $ a \to -\infty $ porque a exponencial decresce rapidamente. Além disso, $ \sin(2a) $ e $ \cos(2a) $ são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Portanto, o termo $ e^{a} (\sin(2a) - 2\cos(2a)) $ também tende a $ 0 $.

Passo 7

Com isso, o limite fica:
lima to -infty ( -25 - 0 ) = -25
Isso significa que a integral converge e seu valor é -25.

Resposta

A integral integral-infty^0 e^t sin(2t) , dt converge e seu valor é -25.

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