Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre integrais impróprias. Especificamente, precisamos estudar se a integral
converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais impróprias e como calcular integrais que vão até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma integral imprópria. Uma integral imprópria ocorre quando os limites de integração envolvem infinito ou quando a função tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, o limite inferior é
, então temos que ver se a integral converge quando $ t $ tende a
.
Passo 3
Para analisar a convergência, vamos reescrever a integral de forma que facilite o cálculo. Vamos definir um limite $ a $ que tende a
e reescrever a integral como:
Agora, precisamos calcular essa integral definida e depois avaliar o limite.
Passo 4
Vamos calcular a integral de $ e^{t} \sin(2t) , dt $. Para isso, usamos uma técnica chamada integração por partes, mas aqui vamos utilizar uma fórmula padrão para integrais do tipo $ \int e^{at} \sin(bt) , dt $, que é:
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 2 $, então substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora que temos a antiderivada, vamos avaliar a integral definida de $ a $ a $ 0 $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos analisar o limite quando $ a \to -\infty $:
Sabemos que $ e^{a} $ tende a $ 0 $ quando $ a \to -\infty $ porque a exponencial decresce rapidamente. Além disso, $ \sin(2a) $ e $ \cos(2a) $ são funções limitadas (sempre entre -1 e 1). Portanto, o termo $ e^{a} (\sin(2a) - 2\cos(2a)) $ também tende a $ 0 $.
Passo 7
Com isso, o limite fica:
Isso significa que a integral converge e seu valor é
.
Resposta
A integral
converge e seu valor é
.