integral tan ^4 x sec ^4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Aqui, a gente precisa resolver a integral de tan^4 x sec^4 x , dx. O conteúdo envolvido são as integrais de funções trigonométricas, especificamente aquelas que contêm potências de tan x e sec x. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar algumas identidades trigonométricas que vão nos ajudar. Sabemos que:
sec^2 x = 1 + tan^2 x
Essa identidade é muito útil para simplificar expressões que envolvem tan x e sec x.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral usando essa identidade. Observamos que sec^4 x pode ser escrito como (sec^2 x)^2, então temos:
integral tan^4 x sec^4 x , dx = integral tan^4 x (sec^2 x)^2 , dx
Mas sabemos que sec^2 x = 1 + tan^2 x, então podemos substituir:
integral tan^4 x (1 + tan^2 x)^2 , dx

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = tan x. Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = sec^2 x, o que nos dá du = sec^2 x , dx.

Passo 5

Com essa substituição, precisamos reescrever a integral em termos de u. Observando nossa expressão anterior:
integral tan^4 x (1 + tan^2 x)^2 , dx = integral u^4 (1 + u^2)^2 cdot dusec^2 x
Mas como du = sec^2 x , dx, temos sec^2 x , dx = du, então a integral fica:
integral u^4 (1 + u^2)^2 , du

Passo 6

Agora, vamos expandir (1 + u^2)^2 para facilitar a integração:
(1 + u^2)^2 = 1 + 2u^2 + u^4
Portanto, a integral fica:
integral u^4 (1 + 2u^2 + u^4) , du = integral (u^4 + 2u^6 + u^8) , du

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^4 , du = u^55 integral 2u^6 , du = 2u^77 integral u^8 , du = u^99
Somando tudo, temos:
u^55 + 2u^77 + u^99 + C

Passo 8

Agora, voltamos para a variável original x, lembrando que u = tan x. Substituindo de volta, a resposta fica:
tan^5 x5 + 2tan^7 x7 + tan^9 x9 + C

Resposta

A integral de tan^4 x sec^4 x , dx é:
tan^5 x5 + 2tan^7 x7 + tan^9 x9 + C

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