Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Aqui, a gente precisa resolver a integral de
. O conteúdo envolvido são as integrais de funções trigonométricas, especificamente aquelas que contêm potências de
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar algumas identidades trigonométricas que vão nos ajudar. Sabemos que:
Essa identidade é muito útil para simplificar expressões que envolvem
e
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral usando essa identidade. Observamos que
pode ser escrito como
, então temos:
Mas sabemos que
, então podemos substituir:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é
, o que nos dá
.
Passo 5
Com essa substituição, precisamos reescrever a integral em termos de
. Observando nossa expressão anterior:
Mas como
, temos
, então a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos expandir
para facilitar a integração:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Somando tudo, temos:
Passo 8
Agora, voltamos para a variável original
, lembrando que
. Substituindo de volta, a resposta fica:
Resposta
A integral de
é: