Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
integral3^infty d xx-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a integral imprópria integral3^infty dxx-2 converge ou não. Isso está relacionado a integrais que vão até o infinito, e para resolver precisamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre limites e antiderivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria como essa, que vai até o infinito, só converge se o limite dessa integral existir e for um número finito. Então, nosso objetivo é calcular o limite dessa integral quando a parte superior do limite de integração tende ao infinito.

Passo 3

Vamos encontrar a antiderivada de 1x-2. A antiderivada de 1u é ln|u| + C, onde C é a constante de integração. Aqui, u = x - 2, então a antiderivada é:
integral dxx-2 = ln|x - 2| + C

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral de 3 até b e depois calcular o limite quando b tende ao infinito:
integral3^b dxx-2 = [ln|b - 2|] - [ln|3 - 2|] = ln(b - 2) - ln(1)
Sabemos que ln(1) = 0, então fica:
ln(b - 2)
Agora, vamos calcular o limite quando b to infty:
limb to infty ln(b - 2) = infty
Isso quer dizer que a integral está crescendo sem limites à medida que b aumenta.

Resposta

A integral integral3^infty dxx-2 diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

Exercícios relacionados