Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente estudar se a integral imprópria
converge ou não. Isso está relacionado a integrais que vão até o infinito, e para resolver precisamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre limites e antiderivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria como essa, que vai até o infinito, só converge se o limite dessa integral existir e for um número finito. Então, nosso objetivo é calcular o limite dessa integral quando a parte superior do limite de integração tende ao infinito.
Passo 3
Vamos encontrar a antiderivada de
. A antiderivada de
é
+ C, onde C é a constante de integração. Aqui,
, então a antiderivada é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a integral de 3 até
e depois calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
, então fica:
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Isso quer dizer que a integral está crescendo sem limites à medida que
aumenta.
Resposta
A integral
diverge, ou seja, não converge para um valor finito.