Vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que conseguimos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Expandimos os termos:
Simplificando:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Como as duas expressões devem ser iguais para todos os valores de , igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
De A = 1, temos A = 1.
De A + B = 0:
1 + B = 0 Rightarrow B = -1
De 3A + 2B + C = 0:
3(1) + 2(-1) + C = 0 Rightarrow 3 - 2 + C = 0 Rightarrow C = -1
De 3A + B + C + D = 0:
3(1) + (-1) + (-1) + D = 0 Rightarrow 3 - 1 - 1 + D = 0 Rightarrow D = -1
Passo 8
Substituímos os valores de A, B, C e D na decomposição das frações parciais:
1x(x+1)^3 = 1x - 1x+1 - 1(x+1)^2 - 1(x+1)^3
Passo 9
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral dxx(x+1)^3 = integral 1x dx - integral 1x+1 dx - integral 1(x+1)^2 dx - integral 1(x+1)^3 dx
Passo 10
Calculando as integrais:
integral 1x dx = ln|x| + C1
integral 1x+1 dx = ln|x+1| + C2
integral 1(x+1)^2 dx = -1x+1 + C3
integral 1(x+1)^3 dx = -12(x+1)^2 + C4
Passo 11
Juntando todos os resultados e simplificando as constantes:
integral dxx(x+1)^3 = ln|x| - ln|x+1| + 1x+1 + 12(x+1)^2 + C