integral d xx(x+1)^3

Passo 1

Vamos resolver a integral integral dxx(x+1)^3. Esse exercício envolve o cálculo de integrais usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples que conseguimos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 1x(x+1)^3 em frações parciais. Assumimos que podemos escrever:
1x(x+1)^3 = Ax + Bx+1 + C(x+1)^2 + D(x+1)^3

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(x+1)^3 para eliminar os denominadores:
1 = A(x+1)^3 + Bx(x+1)^2 + Cx(x+1) + Dx

Passo 4

Expandimos os termos:
1 = A(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) + Bx(x^2 + 2x + 1) + Cx(x + 1) + Dx
Simplificando:
1 = A x^3 + 3A x^2 + 3A x + A + B x^3 + 2B x^2 + B x + C x^2 + C x + D x

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^3 + (3A + 2B + C)x^2 + (3A + B + C + D)x + A

Passo 6

Como as duas expressões devem ser iguais para todos os valores de x, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 0 3A + 2B + C = 0 3A + B + C + D = 0 A = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • De A = 1, temos A = 1.
  • De A + B = 0:
1 + B = 0 Rightarrow B = -1
  • De 3A + 2B + C = 0:
3(1) + 2(-1) + C = 0 Rightarrow 3 - 2 + C = 0 Rightarrow C = -1
  • De 3A + B + C + D = 0:
3(1) + (-1) + (-1) + D = 0 Rightarrow 3 - 1 - 1 + D = 0 Rightarrow D = -1

Passo 8

Substituímos os valores de A, B, C e D na decomposição das frações parciais:
1x(x+1)^3 = 1x - 1x+1 - 1(x+1)^2 - 1(x+1)^3

Passo 9

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral dxx(x+1)^3 = integral 1x dx - integral 1x+1 dx - integral 1(x+1)^2 dx - integral 1(x+1)^3 dx

Passo 10

Calculando as integrais:
  • integral 1x dx = ln|x| + C1
  • integral 1x+1 dx = ln|x+1| + C2
  • integral 1(x+1)^2 dx = -1x+1 + C3
  • integral 1(x+1)^3 dx = -12(x+1)^2 + C4

Passo 11

Juntando todos os resultados e simplificando as constantes:
integral dxx(x+1)^3 = ln|x| - ln|x+1| + 1x+1 + 12(x+1)^2 + C

Resposta

A integral integral dxx(x+1)^3 é igual a:
ln|x| - ln|x+1| + 1x+1 + 12(x+1)^2 + C

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