Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar se a integral imprópria
converge ou não. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites e, possivelmente, usar comparações com integrais que já sabemos se convergem ou divergem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Ela tem um limite de integração que vai até o infinito (
), o que significa que precisamos avaliar o comportamento da função quando
cresce sem limites. Então, a integral se torna:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar
dessa expressão:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para integrar
, vamos usar a técnica de frações parciais. A ideia é expressar
como a soma de duas frações mais simples:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Para isso, escolhemos valores convenientes de
:
- Se
:
- Se
:
Então,
e
.
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, a integral fica:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 7
As integrais são conhecidas:
Então, substituindo:
Passo 8
Voltando à nossa integral imprópria, temos:
Vamos calcular esse limite:
Passo 9
Vamos avaliar cada parte:
-
:
Então, o limite fica:
Resposta
A integral imprópria
converge e o valor da convergência é
.