Estude a convergência das seguintes integrais impróprias.
integral1^infty d xx^2+x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa estudar se a integral imprópria integral1^infty dxx^2+x converge ou não. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente sobre integrais impróprias e critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites e, possivelmente, usar comparações com integrais que já sabemos se convergem ou divergem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Ela tem um limite de integração que vai até o infinito ( infty), o que significa que precisamos avaliar o comportamento da função quando x cresce sem limites. Então, a integral se torna:
integral1^infty dxx^2 + x = limb to infty integral1^b dxx^2 + x

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos simplificar o denominador x^2 + x. Podemos fatorar x dessa expressão:
x^2 + x = x(x + 1)
Então, a integral fica:
integral dxx(x + 1)

Passo 4

Para integrar 1x(x + 1), vamos usar a técnica de frações parciais. A ideia é expressar 1x(x + 1) como a soma de duas frações mais simples:
1x(x + 1) = Ax + Bx + 1
Multiplicando ambos os lados por x(x + 1), temos:
1 = A(x + 1) + Bx

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de A e B. Para isso, escolhemos valores convenientes de x:
  1. Se x = 0:
1 = A(0 + 1) + B(0) Rightarrow 1 = A Rightarrow A = 1
  1. Se x = -1:
1 = A(-1 + 1) + B(-1) Rightarrow 1 = 0 + (-B) Rightarrow B = -1
Então, A = 1 e B = -1.

Passo 6

Com os valores de A e B encontrados, a integral fica:
integral 1x(x + 1) dx = integral ( 1x - 1x + 1 ) dx
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 1x dx - integral 1x + 1 dx

Passo 7

As integrais são conhecidas:
integral 1x dx = ln|x| + C
integral 1x + 1 dx = ln|x + 1| + C
Então, substituindo:
ln|x| - ln|x + 1| + C = ln( xx + 1 ) + C

Passo 8

Voltando à nossa integral imprópria, temos:
integral1^infty dxx^2 + x = limb to infty [ ln( xx + 1 ) ]1^b
Vamos calcular esse limite:
limb to infty ( ln( bb + 1 ) - ln( 12 ) )

Passo 9

Vamos avaliar cada parte:
  1. limb to infty ln( bb + 1 ):
bb + 1 = 11 + 1b to 11 + 0 = 1 quando b to infty
ln(1) = 0
  1. ln( 12 ) = -ln(2)
Então, o limite fica:
0 - (-ln(2)) = ln(2)

Resposta

A integral imprópria integral1^infty dxx^2+x converge e o valor da convergência é ln(2).

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