Calcule a reta tangente à elipse
no ponto
. Calcule também a reta perpendicular à curva no mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação de uma elipse, que é
, e precisamos encontrar a reta tangente a essa elipse no ponto
. Além disso, também vamos achar a reta perpendicular à curva nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos derivar a equação da elipse em relação a
usando derivada implícita.
Passo 3
Vamos derivar a equação
em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos que envolvem
, precisamos usar a regra da cadeia.
A derivada de cada termo fica assim:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é (usando a regra do produto). - A derivada de
é .
Juntando tudo, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação para
, que representa a inclinação da reta tangente.
Primeiro, vamos agrupar os termos que têm
:
Fatorando
:
Agora, isolando
:
Passo 5
Vamos calcular a inclinação
no ponto
. Substituindo
e
na fórmula:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Agora, vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
Onde
é o ponto dado e
é a inclinação.
Substituindo:
Distribuindo:
Somando 2 em ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a reta perpendicular à curva no mesmo ponto. A reta perpendicular, ou normal, tem uma inclinação que é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Como a inclinaç��o da tangente é
, a inclinação da normal será:
Usando novamente a fórmula da reta ponto-inclinação:
Distribuindo:
Somando 2 em ambos os lados:
Resposta
A reta tangente à elipse no ponto
é
e a reta perpendicular à curva nesse mesmo ponto é
.