Calcule a reta tangente à elipse y^2+x^2-x y=4 no ponto (2,2). Calcule também a reta perpendicular à curva no mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação de uma elipse, que é y^2 + x^2 - xy = 4, e precisamos encontrar a reta tangente a essa elipse no ponto (2,2). Além disso, também vamos achar a reta perpendicular à curva nesse mesmo ponto. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a derivada implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma curva em um ponto específico tem a mesma inclinação que a curva naquele ponto. Para encontrar essa inclinação, precisamos derivar a equação da elipse em relação a x usando derivada implícita.

Passo 3

Vamos derivar a equação y^2 + x^2 - xy = 4 em relação a x. Lembre-se que y é uma função de x, então quando derivamos termos que envolvem y, precisamos usar a regra da cadeia.
A derivada de cada termo fica assim:
  • A derivada de y^2 é 2y cdot dydx.
  • A derivada de x^2 é 2x.
  • A derivada de -xy é -y - x cdot dydx (usando a regra do produto).
  • A derivada de 4 é 0.
Juntando tudo, temos:
2y cdot dydx + 2x - y - x cdot dydx = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para dydx, que representa a inclinação da reta tangente.
Primeiro, vamos agrupar os termos que têm dydx:
2y cdot dydx - x cdot dydx = -2x + y
Fatorando dydx:
dydx (2y - x) = -2x + y
Agora, isolando dydx:
dydx = -2x + y2y - x

Passo 5

Vamos calcular a inclinação dydx no ponto (2,2). Substituindo x = 2 e y = 2 na fórmula:
dydx = -2(2) + 22(2) - 2 = -4 + 24 - 2 = -22 = -1
Então, a inclinação da reta tangente é -1.
Agora, vamos usar a fórmula da reta na forma ponto-inclinação:
y - y1 = m(x - x1)
Onde (x1, y1) é o ponto dado e m é a inclinação.
Substituindo:
y - 2 = -1(x - 2)
Distribuindo:
y - 2 = -x + 2
Somando 2 em ambos os lados:
y = -x + 4

Passo 6

Agora, vamos encontrar a reta perpendicular à curva no mesmo ponto. A reta perpendicular, ou normal, tem uma inclinação que é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Como a inclinaç��o da tangente é -1, a inclinação da normal será:
mnormal = -1-1 = 1
Usando novamente a fórmula da reta ponto-inclinação:
y - 2 = 1(x - 2)
Distribuindo:
y - 2 = x - 2
Somando 2 em ambos os lados:
y = x

Resposta

A reta tangente à elipse no ponto (2,2) é y = -x + 4 e a reta perpendicular à curva nesse mesmo ponto é y = x.

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