integral d xx^3+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de $ \frac{1}{x^{3} + 1} $ em relação a $ x $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente à técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração em termos mais simples que podemos integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador $ x^{3} + 1 $. Sabemos que $ x^{3} + 1 $ é uma soma de cubos, e a fatoração de uma soma de cubos é dada por:
x^3 + 1
No nosso caso, $ a = 1 $, então:
x^3 + 1

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos usar a técnica de frações parciais para separar a fração em partes mais simples. Queremos encontrar constantes $ A $, $ B $ e $ C $ tais que:
A
Multiplicando ambos os lados por $ x^{3} + 1 $ para eliminar os denominadores:
B

Passo 4

Agora expandimos e agrupamos os termos para resolver os valores de $ A $, $ B $ e $ C $:
A
Agrupando os termos semelhantes:
B
Para que essa identidade seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
C

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: $ A + B = 0 $ ⇒ $ B = -A $
  2. Substituindo $ B = -A $ na segunda equação:
A + B = 0
  1. Substituindo $ C = 2A $ na terceira equação:
B = -A
Então:
B = -A

Passo 6

Substituindo os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ na expressão das frações parciais:
A
Podemos simplificar:
B

Passo 7

Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
integral 1x^3 + 1 dx = 13 integral 1x + 1 dx + 13 integral -x + 2x^2 - x + 1 dx
A primeira integral é simples:
13 integral 1x + 1 dx = 13 ln|x + 1| + C

Passo 8

Para a segunda integral $ \int \frac{-x + 2}{x^{2} - x + 1} dx $, vamos completar o quadrado no denominador:
integral -x + 2x^2 - x + 1 dx
E reescrever o numerador de modo a facilitar a integração:
x^2 - x + 1 = (x - 12)^2 + 34
Podemos separar a primeira parte como derivada do denominador:
-xx^2 - x + 1 + 2x^2 - x + 1
E a segunda parte será relacionada à função arco-tangente.

Passo 9

Integrando as partes:
13 cdot ( -12 ln|x^2 - x + 1| ) + 13 cdot ( 2raiz3 tan^-1( 2x -1raiz3 ) ) + C
Simplificando:
-16 ln|x^2 - x + 1| + 23raiz3 tan^-1( 2x -1raiz3 ) + C

Resposta

A integral de $ \frac{1}{x^{3} + 1} $ em relação a $ x $ é:
1x^3 + 1
onde $ C $ é a constante de integração.

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