Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de $ \frac{1}{x^{3} + 1} $ em relação a $ x $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente à técnica de frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração em termos mais simples que podemos integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador $ x^{3} + 1 $. Sabemos que $ x^{3} + 1 $ é uma soma de cubos, e a fatoração de uma soma de cubos é dada por:
No nosso caso, $ a = 1 $, então:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos usar a técnica de frações parciais para separar a fração em partes mais simples. Queremos encontrar constantes $ A $, $ B $ e $ C $ tais que:
Multiplicando ambos os lados por $ x^{3} + 1 $ para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora expandimos e agrupamos os termos para resolver os valores de $ A $, $ B $ e $ C $:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa identidade seja verdadeira para todo $ x $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
- Da primeira equação: $ A + B = 0 $ ⇒ $ B = -A $
- Substituindo $ B = -A $ na segunda equação:
- Substituindo $ C = 2A $ na terceira equação:
Então:
Passo 6
Substituindo os valores de $ A $, $ B $ e $ C $ na expressão das frações parciais:
Podemos simplificar:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
A primeira integral é simples:
Passo 8
Para a segunda integral $ \int \frac{-x + 2}{x^{2} - x + 1} dx $, vamos completar o quadrado no denominador:
E reescrever o numerador de modo a facilitar a integração:
Podemos separar a primeira parte como derivada do denominador:
E a segunda parte será relacionada à função arco-tangente.
Passo 9
Integrando as partes:
Simplificando:
Resposta
A integral de $ \frac{1}{x^{3} + 1} $ em relação a $ x $ é:
onde $ C $ é a constante de integração.