integral d x2 x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema é calcular a integral de 12x^2 + 1 em relação a x. Isso está relacionado à matéria de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da função que estamos integrando: 12x^2 + 1. Essa é uma função racional onde o denominador é uma expressão quadrática. Sabemos que integrais desse tipo muitas vezes se relacionam com a função arco-tangente ( arctan).

Passo 3

Vamos reescrever o denominador para facilitar a integração. Observe que:
2x^2 + 1 = 2(x^2 + 12)
Então, a integral fica:
integral dx2x^2 + 1 = integral dx2(x^2 + 12) = 12 integral dxx^2 + 12

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral integral dxx^2 + a^2 tem como resultado 1a arctan(xa) + C, onde C é a constante de integração. No nosso caso, a^2 = 12, então a = 1raiz2.

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
12 integral dxx^2 + 12 = 12 cdot 11raiz2 arctan(x1raiz2) + C = raiz22 arctan(raiz2x) + C

Resposta

Portanto, a integral de 12x^2 + 1 em relação a x é:
raiz22 arctan(raiz2,x,) + C

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