Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de em relação a . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes e frações parciais. Precisa ficar tranquilo, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando a integral é um produto de duas funções, como é o caso aqui: $ \ln x $ e $ \frac{x}{(x{2}+1){2}} $. A fórmula básica é:
Vamos escolher qual parte da integral vai ser e qual vai ser . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivamos.
Passo 3
Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar . Para isso, usamos uma substituição simples.
Passo 4
Vamos substituir $ t = x^{2} + 1 $. Então:
Substituindo na integral de :
Integrando:
Como estamos fazendo uma integração por partes, podemos ignorar a constante aqui.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral que ficou:
Para isso, vamos usar frações parciais. Queremos escrever a fração como:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes correspondentes devem ser iguais:
Resolvendo o sistema:
A = 1 B = -1 C = 0
Então:
1x(x^2+1) = 1x - xx^2+1
Passo 7
Agora, voltamos à nossa integral:
12 integral ( 1x - xx^2+1 ) dx = 12 ( integral 1x dx - integral xx^2+1 dx )