integral x ln x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de x ln x(x^2+1)^2 em relação a x. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes e frações parciais. Precisa ficar tranquilo, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando a integral é um produto de duas funções, como é o caso aqui: $ \ln x $ e $ \frac{x}{(x{2}+1){2}} $. A fórmula básica é:
ln x
Vamos escolher qual parte da integral vai ser x(x^2+1)^2 e qual vai ser integral u , dv = u cdot v - integral v , du . Geralmente, escolhemos u como a parte que simplifica quando derivamos.

Passo 3

Vamos definir:
u = ln x Rightarrow du = 1x dx
dv = x(x^2+1)^2 dx Rightarrow v = integral x(x^2+1)^2 dx
Agora, precisamos encontrar v. Para isso, usamos uma substituição simples.

Passo 4

Vamos substituir $ t = x^{2} + 1 $. Então:
t = x^2 + 1
Substituindo na integral de dt = 2x dx Rightarrow dt2 = x dx :
v
Integrando:
v = integral x(x^2+1)^2 dx = integral 12 cdot 1t^2 dt = 12 integral t^-2 dt
Como estamos fazendo uma integração por partes, podemos ignorar a constante v = 12 cdot ( -1t ) + C = -12t + C = -12(x^2 + 1) + C aqui.

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x ln x(x^2+1)^2 dx = ln x cdot ( -12(x^2+1) ) - integral ( -12(x^2+1) ) cdot 1x dx
Simplificando:
= -ln x2(x^2+1) + 12 integral 1x(x^2+1) dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral que ficou:
integral 1x(x^2+1) dx
Para isso, vamos usar frações parciais. Queremos escrever a fração como:
1x(x^2+1) = Ax + Bx + Cx^2+1
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+1):
1 = A(x^2+1) + (Bx + C)x
Expandindo:
1 = A x^2 + A + B x^2 + C x
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B) x^2 + C x + A
Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes correspondentes devem ser iguais:
A + B = 0 C = 0 A = 1
Resolvendo o sistema:
A = 1 B = -1 C = 0
Então:
1x(x^2+1) = 1x - xx^2+1

Passo 7

Agora, voltamos à nossa integral:
12 integral ( 1x - xx^2+1 ) dx = 12 ( integral 1x dx - integral xx^2+1 dx )
Integrando termo a termo:
= 12 ( ln |x| - 12 ln(x^2+1) ) + C

Passo 8

Agora, juntando tudo que calculamos:
-ln x2(x^2+1) + 12 ln x - 14 ln(x^2+1) + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:
-ln x2(x^2+1) + 12 ln x - 14 ln(x^2+1) + C

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