Estude a convergência das seguintes séries:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n{2}}{2{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n^22^n
O conteúdo envolvido é séries de termos positivos e, em particular, o teste da razão (ou d’Alembert) para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Defina an = n^22^n. Como an>0 para todo n, podemos aplicar o teste da razão:
L ;=;limntoinftyan+1an =limntoinfty(n+1)^22^,n+1n^22^n =limntoinfty(n+1)^22,n^2 =12,<,1

Passo 3

Como no teste da razão obtemos L=tfrac12<1, a série converge absolutamente. Séries de termos positivos que convergem absolutamente convergem, portanto a série original é convergente.

Resposta

A série
sumn=1^inftyn^22^n
converge absolutamente (e, portanto, converge).

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