Seja
; esta função é chamada função gama. Verifique:
(a)
.
(b) Se
!
(a)
(b) Se
Passo 1
O enunciado define a função gama por
e pede:
(a) mostrar que , usando técnicas de integração por partes;
(b) deduzir que, para , vale
, usando a relação recursiva e
.
(a) mostrar que
(b) deduzir que, para
Passo 2
Aplicamos integração por partes ao integral
Escolhemos
Então
onde usamos
e
para
.
Passo 3
Para
, a parte (a) dá
. Como
fazendo a recursão obtemos
,
, ···,
.
Resposta
(a)
para todo
.
(b) para todo
.
(b)