Seja Gamma(x)=integral0^+infty t^x-1 e^-t d t, x>0; esta função é chamada função gama. Verifique:
(a) Gamma(x+1)=x Gamma(x), x>0.
(b) Se n in N, Gamma(n+1)=n !

Passo 1

O enunciado define a função gama por
Gamma(x)=integral0^inftyt^x-1e^-t,dt, x>0,
e pede:
(a) mostrar que Gamma(x+1)=x,Gamma(x), usando técnicas de integração por partes;
(b) deduzir que, para ninN, vale Gamma(n+1)=n!, usando a relação recursiva e Gamma(1).

Passo 2

Aplicamos integração por partes ao integral
Gamma(x+1)=integral0^inftyt^xe^-t,dt
Escolhemos
u=t^x, dv=e^-tdt Longrightarrow du=x,t^x-1dt, v=-e^-t
Então
Gamma(x+1) =l[-,t^xe^-tr]0^infty +integral0^inftyx,t^x-1e^-t,dt =0 + xintegral0^inftyt^x-1e^-t,dt = x,Gamma(x),
onde usamos limttoinftyt^x e^-t=0 e 0^x e^0=0 para x>0.

Passo 3

Para ninN, a parte (a) dá
Gamma(n+1)=n,Gamma(n). Como
Gamma(1)=integral0^inftyt^0e^-t,dt=1,
fazendo a recursão obtemos
Gamma(2)=1, Gamma(3)=2, ···, Gamma(n+1)=ncdot(n-1)cdots1cdotGamma(1)=n!.

Resposta

(a) Gamma(x+1)=x,Gamma(x) para todo x>0.
(b) Gamma(n+1)=n! para todo ninN.

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